Operador diferencial invariante

En matemàtiques i física teòrica, un operador diferencial invariante és un mapage matemàtic d'alguns objectes a un objecte de tipo similar. Estos objectes són típicament funcions en ${ℝ}^n$, les funcions en un varietat, funcions vectorials valorades, camps vectorials, o més generalment, seccions d'un fibrado vectorial .

En un operador diferencial invariante $D$, la paraula diferencial indica que el valor $Df$ de l'image depén només de $f(x)$ i la derivada de $f$ en $x$. La paraula referencial indica que l'operador conté certa simetria. Açò significa que hi ha un grup $G$ que té una acció sobre les funcions (o atres objectes en qüestió) i esta acció es commuta en l'acció de l'operador:

$D(g\cdot f)=g\cdot (Df).$

Per lo general, l'acció del grup té el significat d'un canvi de coordenades (canvi d'observador) i la invarianza significa que l'operador té la mateixa expressió en totes les coordenades admissibles.

Invariancia en espais homogéneus

Siga M = G/H un espai homogéneu per a un grup de Lie G i un subgrup de Lie H. Cada representació $\rho :H\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(𝕍)$ dona lloc a un fibrado vectorial

$V=G{\times }_H𝕍\text{where}(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\mathrm{\forall }g\in G,h\in H\text{and}v\in 𝕍.$

Les seccions $\phi \in \Gamma (V)$ poden identificar-se en

$\Gamma (V)=\{\phi :G\to 𝕍:\phi (gh)=\rho (h^{-1})\phi (g)\mathrm{\forall }g\in G,h\in H\}.$

D'esta forma, el grup G actua en seccions a través de

$({\ell }_g\phi )(g^{\prime })=\phi (g^{-1}{g}^{\prime }).$

Ara, siga V i W dos fibrados vectorials sobre M. Després un operador diferencial

$d:\Gamma (V)\to \Gamma (W)$

que assigna seccions de V a seccions de W es diu invariante si

$d({\ell }_g\phi )={\ell }_g(d\phi ).$

per a totes les seccions $\phi$ en $\Gamma (V)$ i elements g en G. Tots els operadors llineals de diferencials invariantes en geometria parabòliques homogénees, és dir, quan G és semi-simple i H és un subgrup parabòlic, es donen dualmente per homomorfismes del mòdul generalisat de Verma.

Invariancia en térmens d'índexs

Donades dos conexions $\mathrm{\nabla }$ i $\hat{\mathrm{\nabla }}$ i una forma $\omega$, tenim

${\mathrm{\nabla }}_a{\omega }_b={\hat{\mathrm{\nabla }}}_a{\omega }_b-Q_{ab}{}^c{\omega }_c$

per a alguns tensors $Q_{ab}{}^c$. Donada una classe d'equivalència de conexions $[\mathrm{\nabla }]$, diem que un operador és invariante si no canvia la forma de l'operador quan canviem d'una conexió en la classe d'equivalència a un atre.

Per eixemple, si tenim en conte la classe d'equivalència de totes les conexions de torsió lliure , llavors el tensor Q és simètric en els seus índexs més baixos, és dir, $Q_{ab}{}^c=Q_{(ab)}{}^c$. Per lo tant, nosatres podem calcular

${\mathrm{\nabla }}_{[a}{\omega }_{b]}={\hat{\mathrm{\nabla }}}_{[a}{\omega }_{b]},$

a on els corchetes denoten simetrización per biaix. Açò mostra la invarianza de la derivada exterior quan actua sobre una de les formes.

En conexions, les classes d'equivalència, sorgixen naturalment en geometria diferencial, per eixemple:

• en geometria conforme una classe d'equivalència de conexions està donada per la conexió de Levi Civita de totes les medicions en la classe conforme;
• en geometria proyectiva , una classe d'equivalència de conexió està donada per totes les conexions que tenen les mateixes geodèsiques;
• en geometria CR , una classe d'equivalència de les conexions està donada per les conexions de Tanaka-Webster per a cada opció d'estructura pseudohermitiana

Vore també

• operador diferencial

Referències (en anglés)

• Slovák, Jan (1993). Invariantes en varietats conformes, Notes d'investigació de conferència de l'Universitat de Viena (Tesis).

• (1993) Els operadors Naturals en geometria diferencial (PDFPDF), Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.