Número de Hartogs

En matemàtiques, en particular en la teoria axiomàtica de conjunts, un número de Hartogs és un tipo particular de número cardinal. En 1915, Friedrich Hartogs va demostrar que n'hi ha prou en els axioma de Zermelo-Fraenkel (és dir, no es requerix l'axioma d'elecció) per a garantisar l'existència d'un mínim ordinal major que un cardinal ben ordenat donat.

Per a definir el número de Hartogs d'un conjunt, en realitat no és necessari que el conjunt siga ben ordenable:

Si X és un conjunt, llavors el número de Hartogs de X és el mínim ordinal α tal que no existix una funció inyectiva de α en X. En particular, α és un cardinal ben ordenable o de Von Neumann, i es denota per ℵ(X).

En el cas particular de que X siga ben ordenable, ℵ(X) = ℵ_n+1, a on ℵ_n és el cardinal de X. Si X no pot ser ben ordenat, llavors ℵ(X) no és necessàriament un cardinal major que el cardinal de X, pero seguix sent el mínim cardinal que no és menor o igual a la cardinalidad de X.

Existència

Donats algunes teoremes bàsiques de la teoria de conjunts, la demostració de que tot conjunt posseïx un número de Hartogs és senzilla. Siga α = {β ∈ Ord: existix i: β → X inyectiva} la classe dels ordinals biyectables en un subconjunt de X.

Primer es deu verificar que α és un conjunt:

• X × X és un conjunt, gràcies al axioma del conjunt potencia. Per la mateixa raó, el conjunt potencia de X × X també ho és.
• La classe W de tots els bons órdens de subconjunts de X és una subclasse definible del conjunt anterior, per lo que l'esquema d'especificació implica que és un conjunt.
• La classe de tots els tipos d'orde de que ademés són un bon orde de W és un conjunt pel axioma de tongada, puix per a w ∈ W:

(Domini(w), w) ≅ (β, ≤)

es pot descriure en una fòrmula. Pero este últim conjunt, que és un conjunt format per ordinals, és precisament α.

Per últim, es demostra que α té les propietats enunciades:

• Este conjunt és necessàriament transitivo: si β ∈ α i existix per tant una f : β → X inyectiva, llavors donat un γ ∈ β, f també és inyectiva. Com un conjunt transitivo d'ordinals és un ordinal, α és un ordinal.
• Si Plantilla:Mabs = Plantilla:Mabs i β < α, òbviament γ < α, i per tant α és un cardinal.
• Si hi haguera una funció inyectiva de α en X, llavors α ∈ α, per la definició de α. Com açò contradiu la definició d'ordinal, no existix dita funció inyectiva.
• Per últim, α és el mínim ordinal en esta propietat, puix si β < α, β ∈ α i llavors hi ha una funció inyectiva de β en X.

Referències

• Hartogs, Friedrich(1915).Mathematische Annalen.76

438–443.doi:10.1007/BF01458215.

• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded) (en anglés), Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Morgan, Charles. «Axiomatic set theory». Course Notes. University of Bristol. Consultat el 10 d'abril de 2010.