Número altament totiente

Un número altament totiente $k$ és un número entero para el que existixen més solucions a l'equació $\varphi (x)=k$ (a on $\varphi$ és la funció φ de Euler), que per a qualsevol número entero precedent. Els primers números altament totientes són

1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 Plantilla:OEIS, en 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54 i 72 solucions totientes respectivament.

La seqüència de números altament totientes és un subconjunt de la seqüència dels números més menuts $k$ en exactament $n$ solucions a l'equació $\varphi (x)=k$.

El totiente d'un número $x$, en factorización primera $x=\prod _i{p}_i^{e_i}$, és el producte:

$\varphi (x)=\prod _i(p_i-1)p_i^{e_i-1}.$

Per lo tant, un número altament totiente és un número que té més formes d'expressar-se com un producte d'esta forma que qualsevol número més menut.

El concepte és alguna cosa anàlec al de número altament compost, i de la mateixa manera que 1 és l'únic número impar altament compost, també és l'únic número impar altament totiente (de fet, l'únic número impar que no és un número no totiente). I aixina com hi ha una cantitat infinita de números altament composts, també hi ha una cantitat infinita de números altament totientes, encara que els números altament totientes es tornen més difícils de trobar quant major siguen, ya que calcular la funció totiente involucra la factorización en número primo, alguna cosa que es torna extremadament difícil a mida que els números es fan més grans.

Eixemple

Hi ha cinc números (15, 16, 20, 24 i 30) el número dels quals totiente és 8. Cap sancer positiu menor que 8 té tants números aixina, per lo que 8 és altament totiente.

Taula

n	Valors de k tals que $\varphi (k)=n$ Plantilla:OEIS	Número de valors de k tals que $\varphi (k)=n$ Plantilla:OEIS
0		0
1	1, 2	2
2	3, 4, 6	3
3		0
4	5, 8, 10, 12	4
5		0
6	7, 9, 14, 18	4
7		0
8	15, 16, 20, 24, 30	5
9		0
10	11, 22	2
11		0
12	13, 21, 26, 28, 36, 42	6
13		0
14		0
15		0
16	17, 32, 34, 40, 48, 60	6
17		0
18	19, 27, 38, 54	4
19		0
20	25, 33, 44, 50, 66	5
21		0
22	23, 46	2
23		0
24	35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90	10
25		0
26		0
27		0
28	29, 58	2
29		0
30	31, 62	2
31		0
32	51, 64, 68, 80, 96, 102, 120	7
33		0
34		0
35		0
36	37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126	8
37		0
38		0
39		0
40	41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150	9
41		0
42	43, 49, 86, 98	4
43		0
44	69, 92, 138	3
45		0
46	47, 94	2
47		0
48	65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210	11
49		0
50		0

Vore també

• Número altament cototiente

Bibliografia

• L. Havelock, Algunes observacions sobre la valència totient i cototient de PlanetMath