Número no totiente

En teoria de números, un número no totiente^[1] és un sancer positiu n que no té solucions per a la funció φ de Euler: no està en el ranc de φ, i per lo tant l'equació φ(x) = n no té solució per a cap x. En atres paraules, n no és totiente si no hi ha un sancer x que tinga exactament n número coprimo precedents. Tots els número impar són no totientes, llevat 1, que té les soluciones x = 1 i x = 2. Els primers parells no totientes són

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, ... Plantilla:OEIS

Menors k tals que el totiente de k és n són (0 si no existix tal k)

1, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 15, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 25, 0, 23, 0, 35, 0 , 0, 0, 29, 0, 31, 0, 51, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 69, 0, 47, 0, 65, 0, 0 , 0, 53, 0, 81, 0, 87, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 85, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, 73, ... Plantilla:OEIS

Majors k tals que el totiente de k és n són (0 si no existix tal k)

2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0 , 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 0, 126, 0, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 0 , 0, 106, 0, 162, 0, 174, 0, 118, 0, 198, 0, 0, 0, 240, 0, 134, 0, 0, 0, 142, 0, 270, ... Plantilla:OEIS

El número de k tals que φ(k) = n són (comença en n = 0)

0, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 10 , 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 11, 0 , 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 9, 0, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 17, ... Plantilla:OEIS

Segons la conjectura de Carmichael no hi ha 1 en esta seqüència.

Un no totiente parell és un número primo més un, pero mai menys un, ya que tots els números per baix d'un número primo són, per definició, coprimos en ell. Per a expressar-ho algebraicament, per a p primer: φ(p) = p + 1. Ademés, un número oblongo n(n - 1) certament no és no totiente si n és primer, ya que φ(p²) = p(p - 1).

Si un número natural n és totiente, es pot demostrar que n · 2^k és un totiente per a tot número natural k.

Hi ha un número infinit d'número par que no són totientes: de fet, hi ha infinits número primo p distints (com 78557 i 271129, vore número de Sierpiński) tals que tots els números de la forma 2^ap són no totientes, i tots els número impar tenen un múltiple parell que és un no totiente.

n	Números k tals que φ(k)= n	n	Números k tals que φ(k)= n	n	Números k tals que φ(k)= n	n	Números k tals que φ(k)= n
1	1, 2	37		73		109
2	3, 4, 6	38		74		110	121, 242
3		39		75		111
4	5, 8, 10, 12	40	41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150	76		112	113, 145, 226, 232, 290, 348
5		41		77		113
6	7, 9, 14, 18	42	43, 49, 86, 98	78	79, 158	114
7		43		79		115
8	15, 16, 20, 24, 30	44	69, 92, 138	80	123, 164, 165, 176, 200, 220, 246, 264, 300, 330	116	177, 236, 354
9		45		81		117
10	11, 22	46	47, 94	82	83, 166	118
11		47		83		119
12	13, 21, 26, 28, 36, 42	48	65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210	84	129, 147, 172, 196, 258, 294	120	143, 155, 175, 183, 225, 231, 244, 248, 286, 308, 310, 350, 366, 372, 396, 450, 462
13		49		85		121
14		50		86		122
15		51		87		123
16	17, 32, 34, 40, 48, 60	52	53, 106	88	89, 115, 178, 184, 230, 276	124
17		53		89		125
18	19, 27, 38, 54	54	81, 162	90		126	127, 254
19		55		91		127
20	25, 33, 44, 50, 66	56	87, 116, 174	92	141, 188, 282	128	255, 256, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510
21		57		93		129
22	23, 46	58	59, 118	94		130	131, 262
23		59		95		131
24	35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90	60	61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198	96	97, 119, 153, 194, 195, 208, 224, 238, 260, 280, 288, 306, 312, 336, 360, 390, 420	132	161, 201, 207, 268, 322, 402, 414
25		61		97		133
26		62		98		134
27		63		99		135
28	29, 58	64	85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240	100	101, 125, 202, 250	136	137, 274
29		65		101		137
30	31, 62	66	67, 134	102	103, 206	138	139, 278
31		67		103		139
32	51, 64, 68, 80, 96, 102, 120	68		104	159, 212, 318	140	213, 284, 426
33		69		105		141
34		70	71, 142	106	107, 214	142
35		71		107		143
36	37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126	72	73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270	108	109, 133, 171, 189, 218, 266, 324, 342, 378	144	185, 219, 273, 285, 292, 296, 304, 315, 364, 370, 380, 432, 438, 444, 456, 468, 504, 540, 546, 570, 630

Referències

↑ Manfred Schroeder (2013). Number Theory in Science and Communication: With Applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing, and Self-Similarity, Springer Science & Business Media, pp. 123 de 364. ISBN 9783662034309.

Bibliografia

Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory, New York, NY: Springer Science+Business Mija, p. 139. ISBN 0-387-20860-7.
L. Havelock, Algunes observacions sobre la valència de Totient i Cototient de PlanetMath
(2004) Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, p. 230. ISBN 1-4020-2546-7.
Zhang, Mingzhi (1993). “On nontotients”. Journal of Number Theory 43: 168–172. doi:10.1006/jnth.1993.1014. ISSN 0022-314X.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número no totiente» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[MS-1] Manfred Schroeder (2013). Number Theory in Science and Communication: With Applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing, and Self-Similarity, Springer Science & Business Media, pp. 123 de 364. ISBN 9783662034309.

[1]