Mutació (àlgebra)

En la teoria d'àlgebra sobre un cos, la mutació és una construcció d'una nova operació binaria relacionada en la multiplicació de l'àlgebra. En casos específics, es referix a l'àlgebra resultant com un homótopo o un isòtop de l'original.

Definicions

Deixa a $A$ ser un àlgebra sobre un cos $F$ en multiplicació (sense assumir que siga associativa) denotada per yuxtaposició. Per un element $a$ de $A$, definixca al homótopo-$a$ esquerre com una àlgebra en multiplicació.

$x*y=(xa)y$

Similarment definix la mutació $(a,b)$ esquerra $A(a,b)$

$x*y=(xa)y-(yb)x$

El homótopo dret i la mutació és definida análogament. Ya que la mutació $(p,q)$ dreta de $A$ és la mutació $(-q,-p)$ esquerra de l'àlgebra oposta cap a $A$, és suficient per a estudiar les mutacions esquerres.

Si $A$ és un àlgebra unital i $a$ és invertible, nos referim al isòtop per $a$.

Propietats

• Si $A$ és associativa, llavors també ho és cada homótopo de $A$, i cada mutació de $A$ és Lie-admissible.
• Si $A$ és alternativa, llavors també ho és cada homótopo de $A$, i cada mutació de $A$ és Máltsev-admissible.
• Cada isòtop d'un àlgebra de Hurwitz és isomòrfic a l'original.
• Un homótopo d'una àlgebra de Bernstéin per un element la massa del qual no siga zero és novament una àlgebra de Bernstéin.

Bibliografia

• Elduque, Alberto; Myung, {{{nom2}}} (1994). Mutations of Alternative Algebras (en anglés), Springer. ISBN 0792327357.
• Jacobson, Nathan (1996). Finite-dimensional division algebras over fields (en anglés), Springer. ISBN 3-540-57029-2.
• (1999) The Minnesota Notes on Jordan Algebras and Their Applications (en anglés), Springer. ISBN 3-540-66360-6.
• McCrimmon, Kevin (2004). A taste of Jordan algebras (en anglés), Springer. doi:10.1007/b97489. ISBN 0-387-95447-3.
• Okubo, Susumo (1995). Introduction to Octonion and Other Senar-Associative Algebras in Physics (en anglés), Cambridge University Press. ISBN 0-521-47215-6.