Model de Lieb-Liniger

El model de Lieb–Liniger descriu un gas partícules bosónicas (és dir, que satisfan l'estadística de Bose–Einstein) en una caixa uni-dimensional.

Introducció

El model d'un gas uni-dimensional de partícules bosónicas es va presentar en 1963 per a estudiar si les teories aproximades disponibles de tals gasos, específicament la teoria de Bogolubov, descriuen correctament les propietats reals del model. El model està basat en un Hamiltoniano per a partícules que interaccionen entre sí via un potencial de dos cossos, i totes les autofunciones i autovalores de dit hamiltoniano poden, en principi, ser calculades exactament. A voltes es denomina a este model com el gas de Bose uni-dimensional en interacció delta. També pot ser estudiat com una equació de Schödinger no llineal.

L'estat fonamental, aixina com els primers estats excitats varen ser calculats, i es va trobar que estaven d'acort en la teoria de Bogolubov quàn el potencial és menut, llevat pel fet de que hi ha dos tipos de excitació elementals en lloc d'un, contradient açò la preduicción de Bogolubov i d'atres teories.

El model semblava ser només d'interés acadèmic fins que, en les tècniques experimentals sofisticades desenrollades en la primera década de el XXI, va ser possible produir esta classe de gas usant àtoms reals com a partícules.

Definició i solució del model

Supongam que tenim $N$ partícules en coordenades $x$ en la llínea $[0,L]$, en condicions de contorn periòdiques, és dir, tenim a les partícules tancades en un anell. Llavors, pel caràcter bosónico de les partícules, una funció d'ones $\psi (x_1,x_2,\dots ,x_j,\dots ,x_N)$ vàlida com a solució d'este problema és simètrica baix l'intercanvi de partícules en ser estes indistinguibles entre sí, és dir, es complix la simetria $\psi (\dots ,x_i,\dots ,x_j,\dots )=\psi (\dots ,x_j,\dots ,x_i,\dots )$ per a tot parell de partícules $i\ne j$, i $\psi$ satisfà $\psi (\dots ,x_j=0,\dots )=\psi (\dots ,x_j=L,\dots )$ per a tota $j$. El hamiltoniano, en les unitats apropiades, és

$H=-\sum _{j=1}^N{\partial }^2/\partial x_j^2+2c\sum _{1\le i<j\le N}\delta (x_i-x_j),$

On $\delta$ és la funció delta de Dirac, és dir, l'interacció és una interacció de contacte. La constant $c\ge 0$ denota la força de l'interacció. La funció delta dona lloc a una condició de contorn quàn dos coordenades, per eixemple $x_1$ i $x_2$ són iguals; esta condició és que, quan $x_2\searrow x_1$, la derivada de la funció d'ones safisface

$(\frac{\partial }{\partial x_2}-\frac{\partial }{\partial x_1})\psi (x_1,x_2){|}_{x_2=x_1+}=c\psi (x_1=x_2)$

El llímit de núcleu dur $c=\mathrm{\infty }$ es coneix com el gas de Tonks-Girardeau.

L'equació de Schödinger independent del temps $H\psi =E\psi$ es resol via la construcció explícita de $\psi$. Com $\psi$ és simètrica i està totalment determinada pels seus valors en el simplex $ℛ$, definits per la condició $0\le x_1\le x_2\le \dots ,\le x_N\le L$. En esta regió un busca una $\psi$ de la forma considerada per H.A. Bethe en 1931 en el context de sistemes en espin, el Bethe ansatz. Açò és, per a certs número real $k_1<k_2<\cdots <k_N$ que tenen que ser calculats, es propon que la possible solució del problema té la forma

$\psi (x_1,\dots ,x_N)=\sum _{P}a(P)\exp \left(i\sum _{j=1}^N{k}_{Pj}{x}_j\right)$

a on la suma és sobre totes les permutació $N!$, $P$ dels sancers $1,2,\dots ,N$ i $P$ són els mapes de $1,2,\dots ,N$ a $P1,P2,\dots ,PN$. Els coeficients $a(P)$, aixina com els moments $k$' s'obtenen insertant dit ansaltz en l'equació a resoldre $H\psi =E\psi$, i nos dona com a resultat

$E=\sum _{j=1}^N{k}_j^2$

$a(P)=\prod _{1\le i<j\le N}(1+\frac{ic}{k_{Pi}-k_{Pj}}).$

Dorlas (1993) va provar que totes les autofunciones de $H$ tenen esta forma funcional.

Estes equacions determinen $\psi$ en funció dels moments $k$, els quals, a la seua volta, es fixen per les condicions de contorn. Com a resultat, tenim les següents $N$ equacions

$L{k}_j=2\pi I_j-2\sum _{i=1}^N\arctan \left(\frac{k_j-k_i}{c}\right)\text{for }j=1,\dots ,N,$

On $I_1<I_2<\cdots <I_N$ són sancers quan $N$ és impar i, quan $N$ és parell, prenen els valors $\pm \frac{1}{2},\pm \frac{3}{2},\dots$. En l'estat fonamental, els $I$ satisfan

$I_{j+1}-I_j=1,\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}1\le j<N\text{and }{I}_1=-I_N.$

El primer tipo d'excitació elemental consistix en elegir els coeficients $I_1,\dots ,I_{N-1}$ com abans, pero incrementant $I_N$ en una cantitat $n>0$ (o disminuint $I_1$ el mateix número $n$). El moment d'este estat és $p=2\pi n/L$ (o $-2\pi n/L$).

En el segon tipo d'estats excitats, es tria una constant tal que $0<n\le N/2$ i s'incrementa $I_i\to I_i+1$ para tot $i\ge n$. El moment d'este estat és $p=\pi -2\pi n/L$. De la mateixa manera es pot vore que hi ha un estat en $p=\pi +2\pi n/L$. El moment d'este tipo d'excitació està llimitat a $|p|\le \pi .$.

Estes excitació poden combinar-se i repetir-se moltes voltes. Per tant, són de tipo bosónico. Si denotem a l'energia de l'estat fonamental com $E_0$ i a les energies dels estats mencionats dalt com $E_{1,2}(p)$, llavors ${ϵ}_1(p)=E_1(p)-E_0$ i ${ϵ}_2(p)=E_2(p)-E_0$ són les energies d'excitació d'estos dos modos. Més vesprada el model va ser resolt usant Quàntum inverse scattering method. Això va ajudar a calcular funcions de correlació i a trobar lleis de conservació. El hamiltoniano del model té una família d'operadors que commuten en ell, que donen lloc a distintes lleis de conservació. Una expressió explícita de dites lleis de conservació pot ser trobada en Davies i Korepin (1989).