Mija quadràtica de la velocitat d'un gas

La mija quadràtica de la velocitat d'un gas és una mida de la velocitat de les partícules en un gas, la qual és una magnitut convenient per a resoldre problemes per mig de la teoria cinètica dels gasos. La mateixa es definix com la raïl quadrada de la velocitat quadràtica mija de les molècules del gas. Li l'expressa per mig de la fòrmula:

$v_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\sqrt{⟨v^2⟩}$

i segons la teoria dels gasos es calcula a partir de l'expressió:

$v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$

a on $v_{rms}$és la mija quadràtica de la velocitat, $M$ és la massa molar (en quilograms/mol) del gas, $R$ és la constant universal dels gasos ideals, i $T$ és la temperatura en Kelvin. Este concepte és molt adequat tant per al cas de gasos ideals com el heli i per a un gas molecular com el oxigen diatómico. Açò es deu a que si be l'energia interna és gran en molta molècules (comparada en la d'un àtom), aixina i tot $3RT/2$ és l'energia cinètica promig de translació. La qual cosa també pot ser expressat en funció de la constant de Boltzmann ($k$) com:

$v_{rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$

a on $m$ és la massa d'una molècula del gas (en quilograms).

La qual cosa es pot obtindre si s'utilisen métodos basats en l'energia:

$nRT=\frac{2}{3}{E}_c$

a on $E_c$ és l'energia cinètica.

$E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$

Ya que $v^2$ no considera la direcció del moviment, és llògic assumir que la fòrmula pot ser ampliada a tota la mostra, remplazando $m$ per la massa de tota la mostra, o siga la massa molar ($M$) multiplicada pel número de moles ($n$), resultant:

$E_c=\frac{1}{2}nM{v}^2$

Per lo tant:

$v_{rms}=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}$

la qual cosa és equivalent.

S'obté el mateix resultat si es resol la integral gaussiana que conté a la distribució de velocitat de Maxwell, p(v):

$v_{\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{s}}=\sqrt{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{v}^{2}p(v)dv}$

$=\sqrt{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{\frac{3}{2}}{v}^4{e}^{-\frac{v^{2}m}{2kT}}dv}$

$=\sqrt{4\pi {\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)}^{\frac{3}{2}}\frac{3}{8}{\pi }^{\frac{1}{2}}{\left(\frac{2kT}{m}\right)}^{\frac{5}{2}}}$

$=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$