Mida regular de Borel

En matemàtiques, una mida exterior μ en l'espai euclidiano de n dimensions Rⁿ es denomina medida regular de Borel si es complixen les dos condicions següents:

• Cada conjunt de Borel B ⊆ R ⁿ és μ -mesurable en el sentit del criteri de Carathéodory: per a cada A ⊆ Rⁿ

$\mu (A)=\mu (A\cap B)+\mu (A\setminus B).$

• Per a cada conjunt A ⊆ Rⁿ existix un conjunt Borel B ⊆ Rⁿ tal que A ⊆ B i μ (A) = μ(B).

Tinga en conte que el conjunt A no necessita ser μ -mesurable: no obstant, μ (A) està ben definit ya que μ és una mida externa. Una mida exterior que satisfà només el primer d'estos dos requisits es denomina mida de Borel, mentres que una mida exterior que satisfà només el segon requisit (en el conjunt B de Borel substituït per un conjunt B mesurable) es denomina medida regular.

La mida exterior de Lebesgue en Rⁿ és un eixemple de mida regular de Borel.

Es pot demostrar que una mida regular de Borel, encara que s'introduïx ací com una mida externa (solament subaditiva contablemente), es convertix en una mida completa (aditiva contablemente) si es restringix als conjunts de Borel.

Referències

• Evans; Gariepy, Ronald F., {{{nom2}}} (1992). Measure theory and fine properties of functions, CRC Press. ISBN 0-8493-7157-0.
• Taylor (1985). General theory of functions and integration, Dover Publications. ISBN 0-486-64988-1.
• Fonseca, Irene; Gangbo, Wilfrid, {{{nom2}}} (1995). Degree theory in analysis and applications, Oxford University Press. ISBN 0-19-851196-5.