Método de la transformada de ondícula de mòdul màxim

La Transformada Wavelet de Mòdul Màxim (WTMM per les seues sigles en anglés) és un método per a detectar la dimensió fractal d'una senyal.

Ademés d'açò, WTMM és capaç de particionar el temps i domini d'escala d'una senyal en regions de dimensió fractal. En ocasions es menciona este método com un "microscopi matemàtic" per la seua capacitat d'inspeccionar en vàries escales les característiques dimensionals d'una senyal i possiblement informar sobre les fonts d'estes característiques.

El método WTMM utilisa la Transformada Wavelet Contínua en lloc de la Transformada de Fourier per a detectar singularitats, és dir discontinuidades, àrees a on no la senyal no és contínua en una derivada particular.

En particular, este método és útil quàn s'analisen senyals multifractales, aquelles que tenen múltiples dimensions fractales.

Descripció

Considerar una senyal que pot ser representat per la següent equació:

$f (t) = a_{0} + a_{1} (t - t_{i}) + a_{2} (t - t_{i})^{2} + \dots + a_{h} (t - t_{i})^{h_{i}}$

A on $t$ és propenc $t_{i}$ i $h_{i}$ és un valor no sancer que quantifica la singularitat local. (Compare açò en la Série de Taylor, a on s'utilisa solament un número llimitat de térmens de baix nivell per a aproximar una funció contínua.)

Generalment, la Transformada Wavelet Contínua descompon una senyal com una funció del temps, en lloc de supondre que la senyal és estacionaria (per eixemple la Transformada de Fourier). Qualsevol Wavelet contínua pot ser utilisada, encara que la primera derivada de la Distribució Gaussiana i la Wavelet Capell Mexicà (2.ª derivada de la Gaussiana) són les més comunes. L'elecció de la wavelet pot dependre de les característiques de la senyal que s'està investigant.

A continuació es mostra una possible base wavelet donada per la primera derivada de la Gaussiana:

G^{'} (t, a, b) = \frac{a}{(2 π)^{- 1 / 2}} (t - b) e^{\frac{- (t - b)^{2}}{2 a^{2}}}

Una volta que la "wavelet mare" ha segut seleccionada, la transformada wavelet es porta a terme com una funció contínua i de quadrat integrable que pot ser escalada i traduïda. Sean $a > 0$ la constant d'escala i $b \in ℝ$ la traducció de la wavelet a lo llarc de la senyal:

$x_{w} (a, b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{\infty}^{\infty} x (t) ψ^{*} (\frac{t - b}{a}) d t$

On $ψ (t)$ és una funció contínua en el domini de temps i el domini de freqüència anomenada la "wavelet mare" i $^{*}$ representa l'operació de conjugat.

Calculant $X_{w} (a, b)$ per wavelets posteriors que són derivades de la wavelet mare, les singularitats poden ser identificades. Wavelets de derivades successives eliminen l'influència dels térmens de baix nivell en la senyal, deixant el màxim $h_{i}$ per a ser detectat. (Recordar que quan prenent derivades, els térmens de baix nivell es fan 0) Açò és el "Mòdul Màxim".

D'esta forma, este método identifica l'espectre de singularitat a través de convoluciones de la senyal en una wavelet en diferents intervals de temps i escala.

El WTMM és llavors capaç de produir un "esquelet" que particiona l'escala i l'espai temps per la dimensió fractal.

Història

La WTMM va ser desenrollada fòra del camp més gran que és la Transformada Wavelet Contínua, el qual va sorgir en la década de 1980, i els seus contemporàneu métodos de dimensió fractal .

En essència, és una combinació dels métodos "box counting" de dimensió fractal i la transformada wavelet contínua, a on wavelets en vàries escales són utilisades en lloc de "boxes".

WTMM va ser originalment desenrollada per Mallat i Hwang en 1992 i utilisat per a processament d'imàgens.

Bacry, Muzy i Arneodo varen ser usuaris primerencs d'esta metodologia. Posteriorment ha segut utilisat en camps relacionats al processament de senyals.

Referències

Alain Arneodo et al. (2008), Scholarpedia, 3(3):4103.[1]

A Wavelet Tour of Signal Processing, by Stéphane Mallat; ISBN 012466606X; Academic Press, 1999 Mallat, S.; Hwang, W.L.;, "Singularity detection and processing with wavelets," IEEE Transactions on Information Theory, volume 38, number 2, pages 617–643, Mar 1992 doi:10.1109/18.119727
Arneodo en Wavelets "Wavelets and multifractal formalism for singular signals : application to turbulence data", J.F. Muzy, E. Bacry and A. Arneodo, Physical Review Letters 67, 3515 (1991).
"Multifractal formalism for fractal signals: the structure fonction approach versus the wavelet transform modulus maxima method", J.F. Muzy, E. Bacry and A. Arneodo, Phys. Rev. I 47, 875

Este artícul conté una traducció derivada de «Método de la transformada de ondícula de módulo máximo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.