Localisació d'Anderson

Localisació d'Anderson

En la Física de la matèria condensada, la localisació d'Anderson, també coneguda com a localisació forta, consistix en l'absència de difusió d'ones en un mig desordenat. Este fenomen està nomenat en honor al físic americà Philip Warren Anderson, qui va anar el primer en sugerir la possibilitat de que un electró poguera localisar-se a l'interior d'un semiconductor si el grau d'aleatorietat de les impurees o defectes és suficientment gran.

La localisació d'Anderson és un fenomen ondulatorio general aplicat al transport d'ones electromagnètiques, acústiques, d'espin, etc. Este fenomen deu distinguir-se de la localisació dèbil, la qual és l'efecte precursor de la localisació d'Anderson (Vore avall), i de la Localisació de Mott, nomenada en honor a Sir Nevill Mott, a on la transició de comportament metàlic del mig a comportament aïllant no es deu al desorde, sino a una mútua repulsió de Coulomb entre electrons.

Introducció

En el Model d'enllaços forts d'Anderson, l'evolució de la funció d'ona ψ en una ret d-dimensional Z^d està donat per l'equació de Schrödinger

$i\hslash \dot{\psi }=H\psi ,$

a on el Hamiltoniano H està donat per

$(H\varphi )(j)=E_j\varphi (j)+\sum _{k\ne j}V(|k-j|)\varphi (k),$

en I_j arbitraris i independents, i una interacció V(r) que decau com a r⁻² en infinit. Per eixemple, podem prendre els I_j com uniformemente distribuïts en [−W,   +W], i

$V(|r|)=\{\begin{array}{cc}1,& |r|=1\\ 0,& \text{otherwise.}\end{array}$

Començant en ψ₀ localisada en l'orige, estem interessats que tan ràpit la distribució de provabilitat $|\psi {|}^2$ es difon. L'anàlisis d'Anderson mostra lo següent:

• si d és 1 o 2 i W és arbitrari, o si d ≥ 3 i W/ħ és suficientment gran, llavors la distribució de provabilitat permaneix localisada:

$\sum _{n\in {\mathbb{Z}}^d}|\psi (t,n){|}^2|n|\le C$

uniformemente en t. Este fenomen és anomenat localisació d'Anderson.

• si d ≥ 3 i W/ħ és menut,

$\sum _{n\in {\mathbb{Z}}^d}|\psi (t,n){|}^2|n|\approx D\sqrt{t},$

a onD és la constant de difusió.

Anàlisis

Example of a multifractal electronic eigenstate at the Anderson localization transition in a system with 1367631 atoms.

El fenomen de localisació d'Anderson, particularment el corresponent a la localisació dèbil, té orige en l'interferència entre els múltiples camins dispersivos. En el llímit de dispersió forta, l'interferència pot detindre completament les ones dins del mig desordenat.

Per a electrons que no interactuen entre sí, un acostament molt exitós va ser conseguit en 1979 per Abrahams et al. Esta hipòtesis d'escala de la localisació sugerix que una transició metal-aïllant (MIT) induïda pel desorde existix per als electrons no interactuantes en 3 dimensions i en absència de camps magnètics i acoplament espin-òrbita. Treballs subsecuentes han recolzat estos arguments d'escala tant analítica com numèricament (Brandes et al., 2003). En 1D i 2D, la mateixa hipòtesis mostra que no existixen estats estesos, per això no existixen MIT. No obstant, ya que 2 és la dimensió crítica del problema de localisació, el cas 2D és en cert sentit similar al cas 3D: els estats que estan només marginalment localisats per a desórdens dèbils i un chicotet acoplament espin-òrbita poden dur a l'existència d'estats estesos i per això MIT. En conseqüència, les llongituts de localisació dels sistemes 2D en desorde potencial pot ser gran tal que per mig d'acostaments numèrics, podem sempre trobar una transició -localisació-delocalización per al cas de tamanys decreixents del sistema a desorde va dir o per al cas a on el desorde incrementa per a un tamany fix del sistema.

La majoria dels acostaments numèrics al problema de localisació usen el model estàndar d'enllaç fort d'Anderson Hamiltoniano en el potencial de desorde en lloc. Característiques dels autoestados estan sent investigades per a estudis de números de participació obtinguts per mig d'una diagonalización exacta, propietats multifractales, estadística de nivells i molts uns atres. Especialment el profitós método de transferència-matriu (TMM) que permet un càlcul directe de les distàncies de localisació i valida l'hipòtesis de escalamiento per mig d'una prova numèrica de l'existència d'una funció d'escala d'un paràmetro. Una solució numèrica directa de les equacions de Maxwell ha segut implementada per a demostrar la localisació d'Anderson (Conti i Fratalocchi, 2008).