Isometría del pla euclidiano

Les transformacions isomètriques del pla són transformacions del pla en sí mateixa que es realisen sense variar les distàncies ni l'àrea; una figura inicial del pla i el seu transfomación isomètrica són semblants, i geomètricament congruents.

La paraula isometría té el seu orige en el grec iso (igual o mateixa) i metria (medir), una definició propenca és igual mida. Existixen quatre tipos de isometrías no trivials (l'identitat també ho és): translació, simetria, rotació i reflexió en esmonyida.

Discussió informal

Informalment, les isometría en el pla euclidiano són una manera de transformar al pla sense “deformar-ho”, mantenint les distàncies. Si es pensa en el pla euclidiano com un full de plàstic transparent sobre una taula, les distintes isometría es vorien com:

Desplaçar el full uns centímetros a la dreta o a l'esquerra. (Translació)

• Rotar el full un àngul en sentit de les manetes del rellonge (o al revés) al voltant d'un punt fix. (Rotació)
• Voltear el full com per a vore el seu revers. (Simetria o reflexió)

De fet, qualsevol composició de les isometría anteriors també seria una isometría ya que les dimensions i l'àrea es mantenen en cada transformació.

No obstant, doblar, tallar o derretir el full de plàstic no són considerades isometría. Tampoc ho són estirar o encollir el full, puix les dimensions (o distàncies) no es conservarien despuix de dites transformacions.

A voltes, també es menciona separadament a la composició d'una simetria en una translació paralela a l'eix de simetria (o reflexió en esmonyida) com una isometría distinta. En l'eixemple previ es podria vore com voltear el full i desplaçar-la uns centímetros en la direcció de l'eix respecte del que es volteó. Se sol separar este últim tipo d'isometría perque no es pot vore globalment com cap de les atres tres (per molt que siga composició de dos d'elles), és dir, la composició no resulta en una translació en una certa direcció, ni en una simetria respecte d'un cert eix, ni en una rotació d'un cert àngul respecte d'un cert punt. Una manera de vore açò és que tant les simetria com les rotacions tenen punts fixos, mentres que la reflexió en desplaçament no, per lo que no pot correspondre's en cap d'estes; tampoc pot ser una translació, perque en una translació tots els punts es desplacen en la mateixa direcció i, no obstant, en la reflexió són desplaçament, un punt de l'eix es desplaça en la direcció de l'eix i un punt fora de l'eix, no.

Definició formal

Una isometría en el pla euclidiano és una transformació que preserva distàncies en el pla. És un mapage

$f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$

de tal sòrt que para qualssevol punts p i q en el pla,

$d(p,q)=d(f(p),f(q)),$

a on d(p, q) és la distància euclidiana entre p i q.

Bibliografia

• Plantilla:Ref lliure