Hipòtesis de Lindelöf

En matemàtica, la hipòtesis de Lindelöf és una conjectura formulada pel matemàtic finés Ernst Leonard Lindelöf (vore Lindelöf (1908)) sobre la taxa de creiximent de la funció zeta de Riemann en la llínea crítica i que està implicada per la hipòtesis de Riemann.

Esta postula que, per a qualsevol ε > 0,

$\zeta (\frac{1}{2}+it)\text{ es }𝒪(t^{\epsilon }),$

quan t tendix a infinit (vore notació de Landau). ya que ε pot ser reemplaçat per un valor menor, esta conjectura també pot postular-se com:

Per a qualsevol número real positiu ε,

$\zeta (\frac{1}{2}+it)\text{ es }o(t^{\epsilon }).$

La funció μ

Si σ és real, llavors μ(σ) es definix com l'ínfim de tots els número real a tals que ζ(σ + iT) = O(T ^a). És trivial l'observar que μ(σ) = 0 per a σ > 1, i l'equació funcional de la funció zeta implica que μ(1 − σ) = μ(σ) − σ + 1/2. El teorema de Phragmen–Lindelöf implica també que μ és convexa. L'hipòtesis de Lindelöf assegura que μ(1/2) = 0, lo que junt en les propietats citades abans de μ impliquen que μ(σ) és 0 per a σ ≥ 1/2 i 1/2 − σ per a σ ≤ 1/2.

El resultat de convexidad de Lindelöf junt en μ(1) = 0 i μ(0) = 1/2 impliquen que 0 ≤ μ(1/2) ≤ 1/4. El llímit superior d'1/4 va ser rebaixat per Hardy i Littlewood a 1/6 per mig de l'aplicació del método de Weyl d'estimació de sumes exponencials per a l'equació funcional aproximada de la funció zeta. Des de llavors, este llímit ha segut rebaixat significativament a una cantitat menor que 1/6 per varis autors, usant llargues i complexes demostracions, com indica la següent taula:

μ(1/2) ≤	μ(1/2) ≤	Autor
1/4	0.25	Lindelöf (1908)	Llímit de convexidad
1/6	0.1667	Hardy y Littlewood (?)
163/988	0.1650	Walfisz (1924)
27/164	0.1647	Titchmarsh (1932)
229/1392	0.164512	Phillips (1933)
	0.164511	Rankin (1955)
19/116	0.1638	Titchmarsh (1942)
15/92	.1631	Min (1949)
6/37	.16217	Haeneke (1962)
173/1067	0.16214	Kolesnik (1973)
35/216	0.16204	Kolesnik (1982)
139/858	0.16201	Kolesnik (1985)
32/205	0.1561	Huxley (2002),2005

Relació en l'hipòtesis de Riemann

Backlund (1918-1919) va mostrar que l'hipòtesis de Lindelöf és equivalent al següent enunciat sobre els zeros de la funció zeta:

Per a cada ε > 0, el número de zeros en part real a lo manco 1/2 + ε i la part imaginària T i T + 1 és o(log(T)) quan T tendix a infinit. La hipòtesis de Riemann implica que no hi ha cap zero en eixa regió, aixina que implica a l'hipòtesis de Lindelöf. Se sap que el número de zeros en part imaginària T i T + 1 és O(log(T)), aixina que l'hipòtesis de Lindelöf sembla només una miqueta més forta que lo que ya ha segut demostrat, pero a pesar d'això, seguix resistint a tots els intents de demostració, sent estos ya molt complicats.

Referències

• «Lindelöf hypothesis» (en anglés). Encyclopaedia of Mathematics. Springer. Consultat el 13 de novembre de 2010.