Geometria diferencial de hipersuperficies

En matemàtiques, la geometria diferencial de hipersuperficies propon definicions i métodos per a analisar la geometria d'hipersuperficies o varietats diferencials de n dimensions immerses en una varietat riemanniana o l'espai euclídeo.

Ací es tractarà de les superfícies en ${ℝ}^{n+1}$, dotat d'una mètrica euclídea, és dir ${𝔼}^d$.

Equació paramètrica d'una hipersuperficie

ya que una superfície en ${ℝ}^{n+1}$ és una varietat diferenciable de dimensió n, en un entorn V d'una superfície les coordenades de qualsevol punt de V poden escriure's en funció de dos paràmetros:

En general una hipersuperficie pot representar-se de forma no paramètrica per mig de l'equació:

Que si f és suficientment regular és equivalent localment a les equacions paramètriques anteriors.

Pla tangente

Donada una superfície $H$ de ${ℝ}^{n+1}$ i un punt$P_0=(x_0^1,\dots ,x_0^n)\in S$ es definix com l'únic hiperplano de ${ℝ}^{n+1}$ que conté al punt $P_0$ i (localment) i l'aproxima fins a térmens de primer orde. L'equació analítica d'este hiperplano pot expressar-se en ajuda de l'equació paramètrica de la hipersuperificie:

Més senzillament el hiperplano anterior pot escriure's com el conjunt $(x^1,\dots ,x^n)$ que satisfà la següent equació:

Ací, s'ha usat la simplificació de notació ${x^{\prime }}_j^i=\frac{\partial x^i}{\partial u^j}$,... etc

Vector normal a la superfície

Un vector director del hiperplano tangente és un vector normal a la hipersuperficie, usualment existixen dos eleccions possibles per a un vector normal unitari (abdós relacionades per un canvi de signe). Si s'expressa la hipersuperificie per mig de la superfície $f(x^1,\dots ,x^n)=0$, el vector unitari normal es calcula simplement com:

Primera forma fonamental

La primera forma fonamental I és la mètrica induïda per la mètrica euclídea en la hipersuperficie. Dita mètrica és un tensor 2-covariant, simètric i definit sobre l'espai tangente a cada punt de la hipersuperficie H. De fet (H, I) constituïx una varietat de Riemann en tensor mètric I. La primera forma fonamental permet estimar llongituts sobre la hipersuperficie i ànguls d'intersecció entre curves. Les components de la primera forma fonamental solen designar-se per $g_{ij}$:

La forma quadràtica anterior és positiva, lo que implica que $\det (g)>0$. La primera forma anterior pot escriure's com una combinació llineal de productes tensoriales de les 1-formes coordenades $d{u}^i$ conforme a:

Estes poden calcular-se explícitament a partir de la parametrización:

Vore també

• Geometria diferencial de superfícies

Bibliografia

• Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Catalunya, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fòrmules i taules de matemàtica aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.
• M. do Carmo: "Differential geometry of curves and surfaces".
• John M. Llig (1997). Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98271-X.