Geometria de distància

La geometria de distàncies és la branca de les matemàtiques que s'ocupa de caracterisar i estudiar conjunts de punts basant-se únicament en valors donats de les distàncies entre parells de punts. Més abstractament, és l'estudi d'espais semimétricos i les transformacions isomètriques entre ells. Des d'este punt de vista, pot considerar-se com un tema dins de la topología general.

Històricament, el primer resultat en geometria de distància és la fòrmula de Heron en el I La teoria moderna va començar en el XIX en el treball d'Arthur Cayley , seguit per desenrolls més extensos en el XX per Karl Menger i uns atres.

Els problemes de geometria de distància sorgixen sempre que es necessita inferir la forma d'una configuració de punts (posicions relatives) a partir de les distàncies entre ells, com en biologia, rets de sensors, topografia , navegació , cartografia i física .

Introducció i definicions

Primer s'explicaran els conceptes de geometria de distància descrivint dos problemes particulars.

Primer problema: navegació hiperbòlica

Archiu:Navegacion hiperbolica.png

Navegació hiperbolica

Considere tres estacions de ràdio terrestres A, B, C, les ubicacions de la qual es coneixen. Un receptor de ràdio està en un lloc desconegut. Els temps que tarda una senyal de radi en viajar des de les estacions fins al receptor, t_{A ,} t_B, t_C, són desconeguts, pero les diferències horàries, t_{A -} t_B I t_{A -} t_C, són coneguts. D'ells, un sap les diferències de distància c (t_{A -} t_B ) I c (t_{A -} t_C ) , a partir del com es pot trobar la posició del receptor.

Segon problema : reducció de dimensions

En l'anàlisis de senyes , a sovint se li dona una llista de senyes representades com vectores. v = ( x_1,......, x_n ) Є Rⁿ , i un necessita averiguar si es troben dins d'un subespacio afí de baixa dimensió. Una representació de senyes de baixa dimensió té moltes ventages, com aforrar espai d'almagasenament, temps de càlcul i brindar una millor comprensió de les senyes.

Definicions

Ara formalisem algunes definicions que sorgixen naturalment en considerar els nostres problemes.

Espai semisimetrico

Donada la llista de punts en R={P₀,…,P_n },n≥0 , podem especificar arbitrariamente les distàncies entre parells de punts per mig d'una llistad_ijj>0,0≤i<j≤n. Açò definix un espai semimétrico: un espai mètric sense desigualtat triangular. Explícitament, definim un espai semimétrico com un conjunt no buit equipat en un semimétrico d:RxR→[0,∞]) tal que, per tot x,i ϵ R,

1. Positividad: d(x,i)=0 si i solament si x=i

2. Simetria: d(x,i)=d(x,i)

Qualsevol espai mètric és a fortiori un espai semimétrico. En particular, R^K, la K és l'espai dimensional euclidiano és un espai mètric canònic en la distància i geometria. La desigualtat del triàngul s'omet en la definició, perque no volem impondre més restriccions en les distàncies. d_IJ que el mer requisits que siguen positives. En la pràctica, els espais semimétricos sorgixen naturalment de medicions inexactas. Per eixemple, daus tres punts A,B,C en una llínea, d_AB=1,d_BC=1,d_AC=2, una medició inexacta podria donar d_AB=0.99,d_BC=0.98,d_AC=2.00, violant la desigualtat triangular.

Incrustación isomètrica

Daus dos espais semimétricos,(R,d),(R´,d´), una incrustación isomètrica de R a R´ és un mapa f:R→R´ que conserva lo semimétrico, és dir, per a tot x,i ϵ R,d(x,i)=d´(f(x),f(i)). Per eixemple, donat l'espai semimétrico finito (R,d) definit anteriorment, una incrustación isomètrica està definida per punts A_0,A_1,…,A_n∈R^k tal que d(A_i,A_j )=d_ij per a tots 0≤i<j≤n.

Independència afin

Donats els punts A_0,A_1,…,A_n∈R^k es definixen com afinemente independents, si no pot cabre dins d'un sol l subespacio dimensionado en R^k, per a qualsevol l<n si el n-simplex s'estenen v_n, té positiu n-volum, és dir 〖VOL〗_n (v_n )>0. En general, quan k≥n, són afinemente independents, ya que un n -simplex genèric no és degenerado. Per eixemple, 3 punts en el pla, en general, no són colineales, perque el triàngul que formen no degenera en un segment de llínea. De manera similar, 4 punts en l'espai, en general, no són coplanares, perque el tetraedre que comprenen no degenera en un triàngul pla. Quan n>k, deuen ser afinemente depenents. Açò es pot vore observant que qualsevol n-simple que pot cabre dins R^kdebe ser "pla".

DETERMINANTES DE CAYLEY – MENGER

Els determinants de Cayley-Menger, cridats aixina per Arthur Cayley i Karl Menger, són determinants de matrius de distàncies entre conjunts de punts. Deixar A_0,A_1,…,A_n∈R^k siguen n + 1 punts en un espai semimétrico, el seu determinant de Cayley-Menger està definit per

$CM(A_0,\mathrm{...},A_n)=\left|\begin{array}{cccccc}0& d_1^2& d_2^2& \mathrm{...}& d_n^2& 1\\ d_1^2& 0& d_1{2}^2& \mathrm{...}& d_1{n}^2& 1\\ d_1^2& d_1{2}^2& 0& \mathrm{...}& d_1{n}^2& 1\\ .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .\\ .& .& .& .& .& .\\ d_0{n}^2& d_1{n}^2& d_2{n}^2& \mathrm{...}& 0& 1\\ 1& 1& 1& \mathrm{...}& 1& 0\end{array}\right|$

Si$A_0,A_1,\mathrm{...}{A}_n\in R^k$ , després formen els vèrtiços d'un n -simplex possiblement degenerado $v_n$ en $R^k$ . Es pot demostrar que el volum n -dimensional del símplex $v_n$ satisfà

Note's que, per al cas de{ estil de visualisació n = 0} , tenim{ estil de visualisació nomene de l'operador {Vol} _ {0} (v_ {0}) = 1} , lo que significa que el "volum de dimensió 0" d'un 0-simple és 1, és dir, hi ha 1 punt en un 0-simple.

{ extstyle A_{0},A_{1},ldots,A_{n}} són afinemente independents si i si { estil de visualisació nomene de l'operador {Vol} _ {n} (v_ {n})> 0} això és,{displaystyle (-1)^{n+1}operatorname {CM} (A_{0},ldots,A_{n})>0} . Per lo tant, els determinants de Cayley-Menger brinden una forma computacional de demostrar l'independència afí.

Si { estil de visualisació k<n} , llavors els punts deuen ser afinemente depenents, per lo tant{displaystyle ombre de l'operador {CM} (A_{0},ldots,A_{n})=0} . L'artícul de Cayley de 1841 va estudiar el cas especial de { estil de visualisació k = 3, n = 4}   , és dir, cinc punts qualssevol{displaystyle A_{0},ldots,A_{4}}  en l'espai tridimensional deu tindre{ estil de visualisació nomene de l'operador {CM} (A_{0},ldots, A_{4})=0} .

Història

El primer resultat en geometria de distàncies és la fòrmula de Heron, de el I, que dona l'àrea d'un triàngul a partir de les distàncies entre les seues 3 vèrtiços. La fòrmula de Brahmagupta, de el VII, la generalisa a quadrilàters cíclicos. Tartaglia, de el XVI, ho va generalisar per a donar el volum del tetraedre a partir de les distàncies entre les seues 4 vèrtiços.

La teoria moderna de la geometria de distàncies va començar en Arthur Cayley i Karl Menger. [7] Cayley va publicar el determinant de Cayley en 1841, [8] que és un cas especial del determinant general de Cayley-Menger. Menger va demostrar en 1928 una teorema de caracterisació de tots els espais semimétricos que són isométricamente incrustables en l'espai euclidiano de n dimensions. En 1931, Menger va usar relacions de distància per a donar un tractament axiomàtic de la geometria euclidiana. El llibre de Leonard Blumenthal brinda una descripció general de la geometria de distàncies a nivell de postgrau, una gran part de la qual es tracta en anglés per primera volta quan es va publicar.