Gas de Lorentz

Una trayectòria en el gas de Lorentz

El gas de Lorentz és un gas ideal propost per primera volta pel físic neerlandés Hendrik Antoon Lorentz en 1905 per a modelar la condició tèrmica i elèctrica dels metals. Va supondre que els electrons de la banda de conducció es comportaven com un gas ideal sense interacció entre ells fins al moment en el que sofrien colisions en els núcleus dels àtoms, els quals estan pràcticament en les escales de temps en que els electrons permaneixen en una determinada àrea. D'esta forma, el model de Lorentz consistix d'un conjunt d'obstàculs fixos (típicament esferes dures), els quals representen els núcleus atòmics en els vèrtiços d'una ret i una partícula puntual (l'electró) la qual té moviment lliure fins a colisionar en un dels obstàculs de la ret. Quan la colisió ocorre, la partícula es desvia seguint una reflexió especular. Per a fer este model, Lorentz va fer una aproximació de tipo Boltzmann, en lo que implícitament va supondre que la densitat dels núcleus atòmics era baixa. Físicament açò té sentit, si es reinterpreten els núcleus atòmics com a defectes en una ret, en lloc de com a ions.

En els anys subsecuentes i especialment en les últimes décades, s'ha estudiat modificacions a este model, a on es varia el tipo de ret, la forma dels obstàculs, el número de dimensions, les regles de reflexió, la presència de camps, ya siguen elèctrics o magnètics, etc.

Ademés, este model ha segut rellevant tant en àrees de la física, com de les matemàtiques. En física, el model resulta important per a estudiar problemes de transport, en física estadística, en problemes de dispersió, simulacions en dinàmica molecular i inclús com a model per a estudiar un cristal fotònic. Per una atra part, en matemàtiques, el model ha allumenat el camp de la provabilitat i els sistemes dinàmics.

Difusió en un gas de Lorentz

Un dels principals problemes a tractar-se en un gas de Lorentz, és el que té que vore en la difusió, és dir, en quina velocitat es dispersen les partícules dins del sistema. Per a estudiar açò, la millor ferramenta és el desplaçament quadràtic mig.

Assumint que un gas de Lorentz és un sistema ergòdic (fet que ha segut demostrat per al cas del billar de Sinai, el qual es vorà en la següent secció), és possible reduir el problema de la difusió de partícules en un gas de Lorentz al d'una caminada aleatòria o equivalentement, al del moviment browniano, el qual presenta un desplaçament quadràtic mig que és proporcional al temps. És dir:

$⟨{(x(t)-x_0)}^2⟩\sim t.$

a on $x_0$ és la posició inicial de la partícula.

Aixina, típicament els gasos de Lorentz presenten difusió del tipo "normal", és dir, que esta equació es complix.

Billar de Sinai

Artícul principal → Billar dinàmic.

El billar de Sinai és un billar dinàmic a on la frontera és un quadrat en el centre del qual es troba un disc dur fix. El billar sorgix d'estudiar el comportament de dos discs que es desplacen dins del billar quadrat, reflectint-se en les vores del quadrilàter i chocs entre sí. En eliminar el centre de massa com una variable de la configuració, la dinàmica de dos discs que interactuen entre sí es reduïx a la dinàmica del billar de Sinai.

Este billar va ser desenrollat per Yákov Sinái com un eixemple d'un sistema hamiltoniano interactiu que presenta propietats físiques termodinàmiques: és ergòdic i té un exponent de Lyapunov positiu.

En reflectir la partícula en qualsevol de les parets del quadrat, només una de les components de la velocitat es veu afectada i de fet simplement canvia el seu signe. Per eixemple, si la velocitat inicial de la partícula és $(v_x,v_y)$ i colisiona en una de les parets paraleles a l'eix x, llavors la seua velocitat final serà $(v_x,-v_y)$. No obstant, per la simetria del sistema, açò és equivalent a aplicar condicions periòdiques a la frontera sobre el quadrat, la qual cosa a la seua volta és equivalent a estudiar un gas de Lorentz la ret del qual és la ret quadrada.

Açò és fàcilment generalisable a vàries dimensions i diferents simetria, com per eixemple, la simetria hexagonal.

En el cas de la ret quadrada, sempre existixen algunes posicions i velocitats inicials, tals que les partícules dins puguen viajar lliurement per temps infinit. A les regions a on açò succeïx, se'ls coneix com a canals. Per eixemple, en una ret quadrada els vèrtiços de la qual coincidixen en els punts de coordenades sanceres en el pla, si la partícula inicialment es troba en la posició $(0.5,0)$ i la seua velocitat inicial és $(0,1)$, la partícula mai experimentarà una colisió, llevat en el cas a on el radi dels obstàculs és tal que la partícula es troba localisada, és dir, el seu desplaçament quadràtic mig és una constant con respecto de el temps.

En el cas de la ret triangular, açò no és verdader. Existix un radi crític $r_c$ tal que si el radi $r>r_c$ llavors no hi haurà canals, pero no necessàriament estarà localisada la partícula.

Quan hi ha canals, s'ha mostrat que el sistema no exhibix un comportament difusivo, sino més be, un de súper difusió dèbil, és dir:

$⟨{(x(t)-x_0)}^2⟩\sim tlog(t).$

Mentres que quan el sistema no presenta canals, la difusió és de tipo normal.