Desplaçament quadràtic mig

Archiu:Examples caps block 0 pure viscous and elastic.png

Desplaçament quadràtic mig de trazadores micrométricos en un decorregut purament viscós i en un decorregut viscoelástico.

En mecànica estadística, el desplaçament quadràtic mig (MSD, per les seues sigles en anglés) és la mida més comuna de la difusió de partícules en moviment aleatori; es pot visualisar com la cantitat d'un sistema «explorat» per un caminante que seguix un recorregut aleatori. Apareix prominentemente en el factor de Debye-Waller, que descriu vibracions dins de l'estat sòlit, i en l'equació de Langevin per a caracterisar la difusió d'una partícula browniana.

Derivació de el MSD per a una partícula Browniana en 1D

La funció de densitat de provabilitat (PDF) per a una partícula en una dimensió es troba usant la solució de l'equació de difusió unidimensional que implica que la densitat de provabilitat de la posició es dispersa en el temps. Einstein va utilisar este método per a descriure les partícules brownianas. l'equació de Langevin és un atre método per a descriure el moviment browniano.

$\frac{\partial p(x,t\mid x_0)}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}p(x,t\mid x_0)}{\partial x^2},$

donada la condició inicial $p(x_0,t=0\mid x_0)=\delta (x-x_0)$ ; on $x(t)$ és la posició de la partícula a un temps donat, $x_0$ és la posició inicial de la partícula, i $D$ és el coeficient de difusió en unitats en el S.I $m^2{s}^{-1}$ (una mida indirecta de la velocitat de la partícula). La barra en l'argument de la provabilitat instantànea denota la provabilitat condicionada. L'equació de difusió afirma que la rapidea de la provabilitat de trobar la partícula en $x(t)$ és depenent de la posició.

Es pot mostrar que la funció de densitat de provabilitat en una dimensió és

$P(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp (-\frac{(x-x_0{)}^2}{4Dt}).$

Açò vol dir que la provabilitat de trobar la partícula en $x(t)$ seguix una distribució gaussiana, en un ample dependent del temps. Més específicament l'esgambi a mija altura (FWHM) és proporcional a la raïl quadrada del temps

$\mathrm{F}\mathrm{W}\mathrm{H}\mathrm{M}\mathrm{\sim }\sqrt{\mathrm{t}}\mathrm{.}$

Utilisant la funció de densitat de provabilitat, és possible derivar la mija d'una funció donada, $L$, en el temps :$t$

$⟨L(t)⟩\equiv \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}L(x,t)P(x,t)dx,$

a on la mija està presa sobretot l'espai.

El desplaçament quadràtic mig està definit com

$\mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{\equiv }\mathrm{⟨}{(x(t)-x_0)}^{\mathrm{2}}\mathrm{⟩},$

expandint el promig tenim:

$⟨{(x-x_0)}^2⟩=⟨x^2⟩+x_0^2-2x_0⟨x⟩,$

eliminant la notació de dependència explícita del temps per simplicitat. Existixen dos modos de calcular el MSD:

1. calcular explícitament $⟨x^2⟩$ i $⟨x⟩$ i llavors usar la definició de el MSD;
2. trobar la funció generadora de moments, una funció extremadament útil i generalpara tractar en densitat de provabilitat. La funció generadora de moments descriu el $k$-ésimo moment de la funció de densitat de provabilitat. El primer moment del desplaçament de la densitat de provabilitat mostrat dalt és senzillament el promig: $⟨x⟩$. El segon moment està donat per $⟨x^2⟩$.

En el segon método, per a determinar la funció que genera moment és convenient introduir la funció característica:

$G(k)=⟨e^{ikx}⟩\equiv \underset{I}{\int }{e}^{ikx}P(x,t|x_0)dx,$

es pot expandir l'exponencial en l'equació anterior per a obtindre:

$G(k)=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(ik{)}^m}{m!}{\mu }_m.$

Prenent el logaritmo natural de la funció característica, s'aplega a una funció nova

$\ln (G(k))=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(ik{)}^m}{m!}{\kappa }_m,$

on ${\kappa }_m$ és el $m$- ésimo cumulante de $x$. Els primers dos cumulantes estan relacionat en els primers dos moments, $\mu$ , via ${\kappa }_1={\mu }_1;$ i ${\kappa }_2={\mu }_2-{\mu }_1^2,$a on el segon cumulante és la varianza, ${\sigma }^2$. En estes definicions un pot investigar els moments de la funció de densitat de provabilitat d'una partícula browniana,

$G(k)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\underset{I}{\int }\exp (ikx)\exp (-\frac{(x-x_0{)}^2}{4Dt})dx;$

completant el quadrat i coneixent l'àrea total baix una Gaussiana s'obté:

$G(k)=\exp (ik{x}_0-k^{2}Dt).$

Prenent el logaritmo natural, i comparant els exponents de el $ik$ en la funció generadora de cumulantes, el primer cumulante és

${\kappa }_1=x_0,$

lo que simplement vol dir la posició promig és el centre Gaussiano. El segon cumulante és

${\kappa }_2=2Dt,$

El factor 2 prové del factorial en el denominador de funció generadora de cumulantes. Este segon cumulante permet calcular el segon moment:

${\mu }_2={\kappa }_2+{\mu }_1^2=2Dt+x_0^2.$

combinant els resultats per a primer i el segon moment, s'aplega a l'expressió per a el MSD:

$⟨{(x(t)-x_0)}^2⟩=2Dt.$