Funció de fluix

Per a fluix tridimensionals en axisimetría vore funció de fluix de Stokes.

Streamlines o llínees en un valor constant de la funció de fluix, per a un decorregut incompresible al voltant d'un cilindre circular en un fluix uniforme

La funció de fluix es definix per a un fluix incompresible (lliure de divergència) en dos dimensions - aixina com en tres dimensions en axisimetría. Les components de la velocitat de fluix poden expressar-se com les derivades de la funció de fluix escalar. La funció de fluix es pot utilisar per a traçar streamlines, que representen les trayectòries de les partícules en un fluix constant. La funció de fluix de Lagrange bidimensional va ser introduïda per Joseph Louis Lagrange en 1781. La funció de fluix de Stokes és per a fluix tridimensional axisimétrico, i du el nom de George Gabriel Stokes.

Considerant el cas particular de la dinàmica de decorreguts, la diferència entre els valors de la funció de corrent en dos punts qualssevol dona el cabal volumètric (o fluix volumètric) a través d'una llínea que unix els dos punts.

Ya que les llínees de corrent són tangentes al vector velocitat del fluix, el valor de la funció de corrent deu ser constant a lo llarc d'una llínea de corrent. L'utilitat de la funció de fluix residix en el fet de que les components de la velocitat del fluix en les direccionar x - i i - en un punt donat vénen donades per les derivades parcials de la funció de fluix en eixe punt.

Per al fluix potencial bidimensional, les llínees de corrent són perpendiculars a les llínees equipotenciales. Junt en el potencial de velocitat, la funció de fluix pot utilisar-se per a derivar un complex potencial. En atres paraules, la funció de fluix representa la part solenoidal d'una descomposició de Helmholtz bidimensional, mentres que el potencial de velocitat representa la part irrotacional.

Funció de fluix bidimensional

Definicions

El fluix de volum a través de la curva entre els punts $A$ i $P.$

.

Lamb i Batchelor definixen la funció de fluix $\psi (x,y,t)$ per a un camp de velocitats de fluix incompresible $(u(t),v(t))$ com seguix. Donat un punt $P$ i un punt $A$,

$\psi =\underset{A}{\overset{P}{\int }}(u\text{d}y-v\text{d}x)$

és l'integral del producte punt del vector velocitat de fluix $(u,v)$ i la normal $(+\text{d}y,-\text{d}x)$ a l'element de la curva $(\text{d}x,\text{d}y).$ En atres paraules, la funció de fluix $\psi$ és el fluix de volum a través de la curva $AP$. El punt $A$ és simplement un punt de referència que definix a on la funció de fluix és idénticamente zero. Un desplaçament en $A$ resulta en afegir una constant a la funció de fluix $\psi$ en $P$.

Un desplaçament infinitesimal $\delta P=(\delta x,\delta y)$ de la posició $P$ resulta en un canvi de la funció de fluix:

$\delta \psi =u\delta y-v\delta x$.

A partir de la diferencial exacta

$\delta \psi =\frac{\partial \psi }{\partial x}\delta x+\frac{\partial \psi }{\partial y}\delta y,$

les components de la velocitat del fluix en relació en la funció de fluix $\psi$ tenen que ser

$u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x},$

en el cas del qual satisfan efectivament la condició de divergència nula resultant de la incompresibilidad del fluix, és dir

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.$

Definició per mig de l'us d'un potencial vectorial

El signe de la funció de fluix depén de la definició utilisada.

Una forma és definir la funció de corrent $\psi$ per a un fluix bidimensional tal que la velocitat de fluix puga expressar-se a través del potencial vectorial. $𝝍:$

$𝐮=\mathrm{\nabla }\times 𝝍$

A on $𝝍=(0,0,\psi )$ si el vector velocitat del fluix $𝐮=(u,v,0)$.

En sistema de coordenades cartesianas açò equival a

$u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}$

A on $u$ i $v$ són les components de la velocitat del fluix en les direccions de les coordenades cartesianas $x$ i $y$, respectivament.

Definició alternativa (signe opost)

Una atra definició (més utilisada en meteorologia i oceanografia que l'anterior) és

$𝐮=𝐳\times \mathrm{\nabla }{\psi }^{\prime }\equiv (-\psi {\text{'}}_y,\psi {\text{'}}_x,0)$,

a on $𝐳=(0,0,1)$ és un vector unitari en la direcció $+z$ i els subíndexs indiquen derivades parcials.

Note's que esta definició té el signe contrari a la donada anteriorment (${\psi }^{\prime }=-\psi$), per lo que tenim

$u=-\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial y},v=\frac{\partial {\psi }^{\prime }}{\partial x}$

en coordenades cartesianas.

Totes les formulació de la funció de fluix restringixen la velocitat per a satisfer l'equació de continuïtat bidimensional exactament:

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$

Les dos últimes definicions de funció de fluix estan relacionades a través de l'identitat de càlcul vectorial

$\mathrm{\nabla }\times \left(\psi 𝐳\right)=\psi \mathrm{\nabla }\times 𝐳+\mathrm{\nabla }\psi \times 𝐳=\mathrm{\nabla }\psi \times 𝐳=𝐳\times \mathrm{\nabla }{\psi }^{\prime }.$

Observe's que $𝝍=\psi 𝐳$ en este fluix bidimensional.

Derivació de la funció de fluix bidimensional

Considerem dos punts A i B en un fluix pla bidimensional. Si la distància entre estos dos punts és molt menuda: δn, i una corrent de fluix passa entre estos punts en una velocitat mija, q perpendicular a la llínea AB, el cabal volumètric per unitat de gruixa, δΨ ve dau per:

$\delta \psi =q\delta n$

Com a δn → 0, reordenando esta expressió, obtenim:

$q=\frac{\partial \psi }{\partial n}$

Considerem ara un fluix pla bidimensional referit a un sistema de coordenades. Supongam que un observador mira a lo llarc d'un eix arbitrari en la direcció de l'aument i veu que el fluix creua l'eix de esquerra a dreta. S'adopta una convenció de signes tal que la velocitat del fluix és positiva.

Fluix en coordenades cartesianas

Observant el fluix en un quadrat elemental en un sistema de coordenades cartesianas x-i, tenim:

$\begin{array}{cc}\delta \psi & =u\delta y\\ \delta \psi & =-v\delta x\end{array}$

a on o és la velocitat del fluix paralela a l'eix x i en la seua direcció, i v és la velocitat del fluix paralela a l'eix i i en la seua direcció. Aixina, com a δn → 0 i reordenando, tenim:

$\begin{array}{cc}u& =\frac{\partial \psi }{\partial y}\\ v& =-\frac{\partial \psi }{\partial x}\end{array}$

Continuïtat: la derivació

Considerem un fluix pla bidimensional dins d'un sistema de coordenades cartesianas. La Continuïtat establix que si considerem un fluix incompresible en un quadrat elemental, el fluix que entra en eixe chicotet element deu ser igual al fluix que ix d'eixe element.

El fluix total cap a l'element ve dau per:

$\delta {\psi }_{\text{in}}=u\delta y+v\delta x.$

El fluix total d'eixida de l'element ve dau per:

$\delta {\psi }_{\text{out}}=(u+\frac{\partial u}{\partial x}\delta x)\delta y+(v+\frac{\partial v}{\partial y}\delta y)\delta x.$

Aixina tenim:

$\begin{array}{cc}\delta {\psi }_{\text{in}}& =\delta {\psi }_{\text{out}}\\ u\delta y+v\delta x& =(u+\frac{\partial u}{\partial x}\delta x)\delta y+(v+\frac{\partial v}{\partial y}\delta y)\delta x\end{array}$

i simplificant a:

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.$

Substituint les expressions de la funció de fluix en esta equació, tenim:

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y\partial x}=0.$

Vorticidad

La funció de corrent pot trobar-se a partir de la vorticidad per mig de la següent equació de Poisson:

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =-\omega$

o

${\mathrm{\nabla }}^2{\psi }^{\prime }=+\omega$

a on el vector vorticidad $𝝎=\mathrm{\nabla }\times 𝐮$ - definit com el rotacional del vector velocitat del fluix $𝐮$ - per a este fluix bidimensional té $𝝎=(0,0,\omega ),$ i. és dir, només el component $z$ $\omega$ pot ser distint de zero.

Prova de que un valor constant de la funció de fluix correspon a una llínea de fluix

Considere un fluix pla bidimensional dins d'un sistema de coordenades cartesianas. Considerem dos punts infinitesimalment pròxims $P=(x,y)$ i $Q=(x+dx,y+dy)$. Per càlcul tenim que

$\begin{array}{cc}& \psi (x+dx,y+dy)-\psi (x,y)\\ =& \frac{\partial \psi }{\partial x}dx+\frac{\partial \psi }{\partial y}dy\\ =& \mathrm{\nabla }\psi \cdot d𝒓\end{array}$

Digam que $\psi$ pren el mateix valor, digam $C$, en els dos punts $P$ i $Q$, llavors $d𝒓$ és tangente a la curva $\psi =C$ en $P$ i

$0=\psi (x+dx,y+dy)-\psi (x,y)=\mathrm{\nabla }\psi \cdot d𝒓$

lo que implica que el vector $\mathrm{\nabla }\psi$ és normal a la curva $\psi =C$. Si podem demostrar que en tots els llocs $𝒖\cdot \mathrm{\nabla }\psi =0$, utilisant la fòrmula per a $𝒖$ en térmens de $\psi$, llavors haurem demostrat el resultat. Açò es deduïx fàcilment,

$𝒖\cdot \mathrm{\nabla }\psi =\frac{\partial \psi }{\partial y}\frac{\partial \psi }{\partial x}+(-\frac{\partial \psi }{\partial x})\frac{\partial \psi }{\partial y}=0.$

Propietats de la funció fluix

1. La funció de fluix $\psi$ és constant a lo llarc de qualsevol llínea de fluix.
2. Per a un fluix continu (sense fonts ni sumideros), el cabal volumètric a través de qualsevol trayectòria tancada és igual a zero.
3. Per a dos patrons de fluix incompresible, la suma algebraica de les funcions de fluix és igual a una atra funció de fluix obtinguda si els dos patrons de fluix se superponen.
4. La taxa de canvi de la funció de corrent en la distància és directament proporcional a la component de velocitat perpendicular a la direcció de canvi.

Vore també

• Fluix elemental
• Vorticidad

Bibliografia

• (1967).«An Introduction to Fluïu Dynamics».Cambridge University Press.
• (1932).«Hydrodynamics».Cambridge University Press, republished by Dover Publications.
• (1998).«Mechanics of Fluids».Nelson Thornes.UK:
• (2003).«Fluïu Mechanics».McGraw-Hill.New York:
• (2001).«Complex Analysis».Springer.New York:
• «Streamfunction».AMS Glossary of Meteorology.American Meteorological Society.Consultat el 2014-01-30.