Expansió de Prandtl-Meyer

Archiu:Expansion fan.png

Quàn un fluix supersònic troba un cantó convexa, forma un seguidor d'expansió, el qual consta d'un número infinit d'ones d'expansió va centrar en el cantó. La figura mostra un de tal seguidor d'expansió ideal.

En mecànica de decorreguts, es coneix com a expansió de Prandtl–Meyer, al procés que es produïx quan un fluix supersònic gira entorn a un cantó convexa, formant un palmito divergent consistent en un número infinit d'ones Mach. Si el decorregut troba un cantó cóncau, el palmito convergix, donant lloc a una ona de choc oblicua.

Cada ona en el palmito d'expansió canvia la direcció del fluix gradualment. És físicament impossible que el fluix gire a través d'una ona de choc perque açò violaria la segona llei de la termodinàmica.

A través del palmito d'expansió, el fluix s'accelera (aumenta de velocitat) i aumenta el número Mach, mentres que la pressió estàtica, temperatura i la densitat disminuïxen. Ya que el procés és isentrópico, les propietats d'estancament (ej. la pressió total i temperatura total) permaneixen constants en tot el palmito.

Propietats del fluix

El palmito d'expansió consta de número infinit d'ones d'expansió o ones de Mach. La primera llínea de Mach forma un àngul sobre la direcció del fluix:

$μ_{1} = \arcsin (\frac{1}{M_{1}})$

L'última llínea de Mach, forma a la seua volta l'àngul respecte al fluix final:

$μ_{2} = \arcsin (\frac{1}{M_{2}})$

Ya que la direcció del fluix canvia gradualment i els canvis en cada ona d'expansió són menuts, tot el procés és isentrópico. Açò simplifica els càlculs de les propietats de fluix significativament. Ya que el fluix és isentropico les propietats d'estancament com la pressió d'estancament $(p_{0})$ , temperatura d'estancament $(T_{0})$ i la densitat d'estancament $(ρ_{0})$ permaneixen constants. Les condicions estàtiques finals són una funció del número de Mach de fluix final $(M_{2})$ i pot relacionar-se en les condicions de fluix inicials de la següent manera:

\begin{matrix} \frac{T_{2}}{T_{1}} & = & (\frac{1 + \frac{γ - 1}{2} M_{1}^{2}}{1 + \frac{γ - 1}{2} M_{2}^{2}}) \\ \frac{p_{2}}{p_{1}} & = & (\frac{1 + \frac{γ - 1}{2} M_{1}^{2}}{1 + \frac{γ - 1}{2} M_{2}^{2}})^{γ / (γ - 1)} \\ \frac{ρ_{2}}{ρ_{1}} & = & (\frac{1 + \frac{γ - 1}{2} M_{1}^{2}}{1 + \frac{γ - 1}{2} M_{2}^{2}})^{1 / (γ - 1)} . \end{matrix}

El número Mach despuix de gir $(M_{2})$ està relacionat en el número Mach inicial $(M_{1})$ i l'àngul de gir $(θ)$

θ = ν (M_{2}) - ν (M_{1})

a on $ν (M)$ és la funció Prandtl-Meyer. Esta funció determina l'àngul que descriu un fluix sónico (M = 1) per a conseguir un número de Mach en particular (M). Matemàticament,

\begin{matrix} ν (M) & = \int \frac{\sqrt{M^{2} - 1}}{1 + \frac{γ - 1}{2} M^{2}} \frac{d M}{M} \\ = \sqrt{\frac{γ + 1}{γ - 1}} \cdot \arctan \sqrt{\frac{γ - 1}{γ + 1} (M^{2} - 1)} - \arctan \sqrt{M^{2} - 1} \end{matrix}

per convenció, $ν (1) = 0.$ per lo tant, donat el número de Mach inicial $(M_{1})$ es pot calcular $ν (M_{1})$ i utilisant l'àngul de gir troba $ν (M_{2})$ . A partir del valor de $ν (M_{2})$ , es pot obtindre el número de Mach final $(M_{2})$ i atres propietats de fluix.

Àngul màxim de gir

Com el número de Mach varia d'1 a $\infty$ , pren valors de 0 a $ν$ , a on

ν_{max} = \frac{π}{2} (\sqrt{\frac{γ + 1}{γ - 1}} - 1)

Archiu:Angle màxim en ventall d'extensió de Prandtl-Meyer.png

Hi ha un llímit en l'àngul màxim

(θ_{max})

a través del com pot girar un fluix supersònic.

Açò posa un llímit a la cantitat de fluix supersònic que pot girar, en l'àngul de gir màxim dau.

θ_{max} = ν_{max} - ν (M_{1})

L'expansió es pot també explicar de la següent manera: Un fluix té que girar de modo que puga satisfer les condicions de frontera. En un fluix ideal, hi ha dos condició de frontera que el fluix té que satisfer,

Condició de frontera de la velocitat, que determina que el component de la velocitat de fluix normal a la paret és zero. També es coneix com a condició de no penetració.
Condició de frontera de la pressió, que establix que no pot haver una discontinuïtat en la pressió estàtica dins del fluix (no hi ha cap chocs en el fluix).

Si el fluix gira lo suficient com per a que siga paralel a la paret, no devem preocupar-nos per les condició de frontera de la pressió. No obstant, a mida que el fluix gira, la seua pressió estàtica disminuïx (com es va descriure anteriorment). Si no hi ha suficient pressió per a escomençar, el fluix no serà capaç de completar el regrés i no serà paralel a la paret. Açò es mostra com l'àngul màxim a través del com un fluix pot girar. Quant menor siga el número de Mach per a escomençar (és dir, chicotet $M_{1}$ ), major serà l'àngul màxim a través del com pot girar el fluix.

La llínea de corrent que separa la direcció de fluix final i la paret es coneix com la corrent de desplaçament (que es mostra com la llínea discontínua en la figura). A través d'esta llínea hi ha un bot en la temperatura, densitat i component tangencial de la velocitat (component normal és zero). Més allà de la corrent de desplaçament, el fluix esta estancat (lo que satisfà automàticament la condició de frontera de la velocitat en la paret). En cas de fluix real,s'observa una capa de cisallament en lloc d'una corrent d'esmonyida, per les condicions de vora adicional sense esmonyida.

Archiu:Schema Prandtl-Meyer.png

Per a un objecte que es mou a velocitats supersòniques

(u > c)

a mida que es mou des del punt A fins a B( distància o.t), els destorbament que s'originen des del punt A recorren una distancia c.t. L'àngul corresponent es coneix com a àngul de Mach i les llínees que tanquen la regió pertorbada es coneixen com a llínees de Mach (en el cas 2-D) o con de Mach (en 3-D)

Impossibilitat d'expandir un fluix a través d'una única ona de choc

Quan un fluix supersònic gira, el component normal de la velocitat aumenta ( $w_{2} > w_{1}$ ), mentres que el component tangencial permaneix constant ( $u_{2} = u_{1}$ ). El canvi corresponent és la entropía ( $Δ s = s_{2} - s_{1}$ ).

$\frac{Δ s}{R} = \ln (\frac{p_{2}}{p_{1}})^{(^{1} / γ - 1)} (\frac{ρ_{2}}{ρ_{1}})^{(^{-} γ / γ - 1)} \approx \frac{γ + 1}{12 γ^{2}} (\frac{p_{2} - p_{1}}{p_{1}})^{3} \approx \frac{γ + 1}{12 γ^{2}} [\frac{p_{2} w_{1}^{2}}{p_{1}} (1 - \frac{w_{2}}{w_{2}})]^{3}$

a on $R$ és la constant de gas universal, $γ$ és la relació de capacitats de calor específiques, $ρ$ és la densitat estàtica, $p$ és la pressió estàtica, $s$ és la entropía, i $w$ és el component de la velocitat de fluix normal al choc. Els sufixos 1 i 2"es referixen a les condicions inicials i finals, respectivament.

ya que $w_{2} > w_{1}$ , açò implica que $Δ s < 0$ . Ya que açò no és possible, un fluix no pot girar a través d'una única ona de choc. L'argument pot estendre's per a mostrar que dit procés d'expansió solament pot ocórrer si considerem un gir a través d'un número infinit d'ones d'expansió en el llímit $Δ s \to 0$ . En conseqüència, un procés d'expansió és un procés isentrópico.

Llínees de Mach (con) i àngul de Mach

És un concepte que generalment es troba en els fluix supersònics 2-D (és dir, $M \geq 1$ ). Són un parell de llínees de llímit que separen la regió de fluix pertorbat de la part no pertorbada del fluix. Estes llínees apareixen en parells i estan orientades en àngul.

$μ = \arcsin (\frac{c}{u}) = \arcsin (\frac{1}{M})$

sobre la direcció del moviment (també conegut com l'àngul Mach). En el cas del camp de fluix 3-D, estes llínees formen una superfície coneguda com a con Mach, en l'àngul Mach com l'àngul mig del con.

Per a entendre millor el concepte, considere el cas esbossat en la figura. Sabem que quan un objecte es mou en un fluix, causa destorbament de pressió (que viagen a la velocitat del sò, també conegudes com a ones Mach). La figura mostra un objecte que es mou del punt A a el B a lo llarc de la llínea AB a velocitats supersòniques ( $u > c$ ). Quan l'objecte aplega al punt B, els destorbament de pressió des del punt A han recorregut una distancia c · t i ara estan en la circumferència del círcul (en el centre en el punt A). Existixen infinits de tals círculs en el seu centre en la llínea AB, cada u representa l'ubicació dels destorbament pel moviment de l'objecte. Les llínees que es propaguen cap a fòra des del punt B i tangentes a tots estos círculs es coneixen com a llínees Mach.

Nota: estos conceptes tenen un significat físic sol per a fluix supersònics ( $u \geq c$ ). En cas de fluix subsónicos, els destorbament viajaran més ràpit que la font i l'argument de la funció arcsin () serà major que un.

Vore també

Referències

Liepmann, Hans W.; Roshko, A., {{{nom2}}} (2001). Elements of Gasdynamics, Dover Publications. ISBN 0-486-41963-0.
Anderson (giner de 2001). Fundamentals of Aerodynamics, 3rd edició, McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-237335-0.
Shapiro, Ascher H. (1953). The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluïu Flow, Volume 1. ISBN 978-0-471-06691-0.

Enllaces externs

Seguidor d'expansió

Este artícul conté una traducció derivada de «Expansión de Prandtl-Meyer» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.