Espai de Cauchy

En topología general i anàlisis matemàtic, un espai de Cauchy és una generalisació dels conceptes d'espai mètric i d'espai uniforme para la que la noció de convergència de Cauchy encara té sentit. Els espais de Cauchy varen ser introduïts per H. H. Keller en 1968, com una ferramenta axiomàtica derivada de l'idea d'un espai uniforme, per a estudiar la completitud en espais topològics. La categoria dels espais de Cauchy i les aplicacions contínues de Cauchy és tancada i conté la categoria d'espai de proximitat.

Definició

En tot moment, $X$ és un conjunt, $\mathrm{\wp }(X)$ denota el conjunt potencia de $X,$ i se supon que tots els filtres són propis/no degenerados (és dir, un filtre no pot contindre el conjunt buit).

Un espai de Cauchy és un parell $(X,C)$ que consta d'un conjunt $X$ junt en una família $C\subseteq \mathrm{\wp }(\mathrm{\wp }(X))$ de filtres (propis) en $X$ que tenen totes les següents propietats:

1. Per a cada $x\in X,$, l'ultrafiltro discret en $x,$ denotat per $U(x),$ està en $C.$
2. Si $F\in C,$ $G$ és un filtre propi i $F$ és un subconjunt de $G,$ llavors $G\in C.$
3. Si $F,G\in C$ i si cada membre de $F$ creua a cada membre de $G,$ llavors $F\cap G\in C.$

Un element de $C$ es denomina filtre de Cauchy, i una aplicació $f$ entre els espais de Cauchy $(X,C)$ i $(Y,D)$ és contínua de Cauchy si $\uparrow f(C)\subseteq D$; és dir, l'image de cada filtre de Cauchy en $X$ és una base de filtres de Cauchy en $Y.$

Propietats i definicions

Qualsevol espai de Cauchy també és un espai de convergència, a on un filtre $F$ convergix a $x$ si $F\cap U(x)$ és de Cauchy. En particular, un espai de Cauchy du associada una topología natural.

Vore també

• Caracterisació de la categoria d'espais topològics
• Espai de convergència
• Filtres en topología
• Espai pretopológico
• Espai de proximitat

Bibliografia

• Eva Lowen-Colebunders (1989). Function Classes of Cauchy Continuous Maps. De==, Nova York, 1989.
• (1996) Handbook of Analysis and Its Foundations, Sant Diego, CA: Academic Press. OCLC 175294365. ISBN 978-0-12-622760-4.