Energia de cohesió gravitacional

La energia de cohesió gravitacional és l'energia mínima que té que ser aplicada a un sistema per a este deixe d'estar unit per mig de l'atracció de la gravetat. Un sistema unit per la gravetat té energia potencial gravitacional menor que la suma dels seus components per separat — açò és lo que manté el sistema agregat d'acort en el principi d'energia potencial mínima total.

Per a una massa esfèrica de densitat uniforme, l'energia de cohesió gravitacional O està donada per la fòrmula

$U=\frac{3G{M}^2}{5R}$

a on G és la constant de gravitació , M és la massa de l'esfera, i R és la seua ràdio.

Suponent que la Terra és una esfera uniforme (la qual cosa no és del tot correcte, pero lo suficient per a obtindre una estimació del orde de magnitut) en $M=5.97\cdot 10^{24}\text{kg}$ i $R=6.37\cdot 10^6\text{m}$, obtenim $U=2.24\cdot 10^{32}\text{J}$. Açò és aproximadament igual a una semana de la producció d'energia total del Sol, que és de 37.5 MJ/kg, 60% del valor absolut de l'energia potencial per kg en la superfície.

Si en lloc d'una densitat uniforme, usem la densitat en funció de la profunditat, obtinguda a partir del temps de viage de les ones sísmiques (equació d'Adams-Williamson), està donat en el Model de Terra de Referència Preliminar (PREM). Tenint en conte açò, l'energia de cohesió gravitacional real de la terra pot ser calculada numèricament com $U=2.487\cdot 10^{32}\text{J}$.

Segons el teorema del virial, l'energia de cohesió gravitacional d'una estrela és aproximadament dos voltes la seua energia tèrmica interna.

Desenroll per a una esfera uniforme

L'energia de cohesió gravitacional d'una esfera de ràdio R s'obté en calcular l'energia total d'alluntar fins a l'infinit totes les capes de gruixa dr externes de l'esfera successivament.

Suponent una densitat constant ρ, les masses d'una capa i l'interior d'esfera siga:

$m_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{a}}=4\pi r^2\rho dr$ i $m_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}}=\frac{4}{3}\pi r^3\rho$

L'energia requerida per a una capa és el negatiu de l'energia potencial gravitacional:

$𝑑𝑈=-G\frac{m_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{a}}{m}_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{r}}}{r}$

Integrant para tot les capes:

$U=-G\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{(4\pi r^2\rho )(\frac{4}{3}\pi r^3\rho )}{r}dr=-G\frac{16}{3}{\pi }^2{\rho }^2\underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^{4}dr=-G\frac{16}{15}{\pi }^2{\rho }^2{R}^5$

El valor de la densitat ρ usat ací és senzillament igual a la massa total dividida pel seu volum per a objectes en densitat uniforme, per tant

$\rho =\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

I finalment, insertat açò al nostre resultat obtenim a la fòrmula

$U=-G\frac{16}{15}{\pi }^2{R}^5{\left(\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\right)}^2=-\frac{3G{M}^2}{5R}$.