Dualitat Kramers–Wannier

La dualitat Kramers–Wannier és una simetria en física estadística. Relaciona l'energia lliure d'un model de Ising bidimensional en forma de reixeta quadrada a baixa temperatures en la d'un atre model de Ising de similar geometria a altes temperatures. Va ser descoberta per Hendrik Kramers i Gregory Wannier en 1941. En l'ajuda d'esta dualitat Kramers i Wannier varen trobar l'ubicació exacta del punt crític para dit model.

Existixen dualidades similars que establixen relacions entre energies lliures d'atres models estadístics. Per eixemple, el cas del model de Ising de 3 dimensions és dual en un model de gauge de Ising.

Idea intuïtiva

El model bidimensional de Ising pot comparar-se en un enreixat que conecta un patró similar a un tauler d'escacs.  En un enreixat finito, les vores poden ser conectats formant un toroide. Això implica que es pot construir una transformació involutiva. Per eixemple, Lars Onsager va sugerir que la transformació estrela-triàngul pot ser utilisada per a l'enreixat triangular. Per a un toroide discret, el dual és el propi toroide. Ademés, el dual d'un sistema altament desordenat (temperatura alta) és un sistema altament ordenat (temperatura baixa). Açò es pot vore que la transformació de Fourier d'una senyal en alt ample de banda (més desviació estàndar) és una funció en baix ample de banda (menys desviació estàndar). 

Quàn s'eleva la temperatura en un dels dos models, baixa la temperatura en l'atre. Si solament hi ha una transició de fase, esta serà en el punt en quin abdós models s'igualen perque la temperatura és igual. Ya que el model bidimensional de Ising va d'un estat desordenat a un estat ordenat, hi ha una relació inyectiva entre abdós estats o fases.

La teoria ha segut generalisada i hibridada en moltes atres idees. Per eixemple, l'enreixat quadrat se sol reemplaçar per un círcul, un enreixat aleatori, un toroide no homogéneu, un enreixat triangular, un llaberint, enreixats en fronteres, torsionados, models quirales, i molts uns atres.

Derivació

L'expressió a baixa temperatura per a (K*,L) és

$Z_N(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset {\Lambda }_D}(e^{-2L^{*}}{)}^r(e^{-2K^{*}}{)}^s$

a on es pot aplicar la transformació:

$\tanh K=e^{-2L*},\tanh L=e^{-2K*}$

Donant:

$Z_N(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\tanh L{)}^{-N/2}\sum _P{v}^r{w}^s$

$=2(\sinh 2K\sinh 2L{)}^{-N/2}{Z}_N(K,L)$

Açò dona una relació en l'expressió a alta temperatura . Les relacions poden ser escrites més simétricamente:

$\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1$

$\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1$

Plantejant l'energia lliure específica en el llímit termodinàmic

$f(K,L)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_N(K,L)=-kT\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{N}\log Z_N(K,L)$

El dualitat de Kramers–Wannier dona:

$f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+\frac{1}{2}kT\log (\sinh 2K\sinh 2L)$

En el cas isótropo a on K = L, si hi ha un punt crític en K = Kc llavors hi ha un atre punt crític en K = Kc. És dir, en el cas de que hi haja un punt crític únic, est deu estar ubicat en K = K* = Kc, implicant sinh 2Kc = 1, (kTc = 2.2692J).