Dodecàgon

Dodecágono

Un dodecàgon, en la geometria, és un polígon de 12 costats i 12 vèrtiços. Si en prolongar un costat, tota la figura queda exactament en un dels semiplanos determinats pel costat i les seues prolongacions, el polígon és convexo. En el cas de que existixca un costat en les seues prolongacions tal que la figura se situe en els dos semiplanos definits per tal costat i les seues prolongacions, el polígon és cóncau.

La suma de les seues ànguls interiors és de 1800°.

Propietats

Un dodecàgon té 54 diagonals, resultat que es pot obtindre aplicant l'equació general per a determinar el número de diagonals d'un polígon, $D=n(n-3)/2$; sent el número de costats $n=12$, es té que:

$D=\frac{12(12-3)}{2}=54$

La suma de tots els ànguls interns de qualsevol dodecàgon és 1800 graus o $10\pi$ radians.
L'àngul central d'un dodecàgon regular és de 30°.

El número de punts en que es intersecan les diagonals d'un dodecàgon regular és 495.

Dodecágono regular

Un dodecàgon regular i els seus ànguls principals

Un dodecàgon regular és un dodecàgon en igual llongitut en tots els seus costats i que els seus ànguls interns tenen tots la mateixa mida: 150° o $5\pi /6$ rad. Cada àngul extern del dodecàgon regular medix 30° o $\pi /6$ rad.

Un dodecàgon regular té símbol de Schläfli {12} i pot ser construït com un hexàgon truncat, t{6}, o un triàngul doblement truncat, tt{3}.

Perímetro

El perímetro d'un dodecàgon regular de costat $t$ és

$P=12\cdot t$

O be, en térmens del circunradio $r$ és

$\begin{array}{cc}P& =24r\tan \left(\frac{\pi }{12}\right)=12r\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ & \simeq 6.21165708246r\end{array}$

Àrea

l'àrea d'un dodecàgon regular de costat $t$ és

$A=\frac{3\cdot t^2}{\tan (\frac{\pi }{12})}=t^2\cdot (6+3\sqrt{3})\simeq 11,1962t^2$

a on $\pi$ és la constant pi i $\tan$ és la funció tangente calculada en radians.

O be, en funció de l'apotema $a$ i del costat $t$ del dodecàgon,

$A=\frac{P\cdot a}{2}=\frac{12\cdot t\cdot a}{2}=6\cdot t\cdot a$

També, en funció d'únicament la apotema $a$,

$A=a^2\cdot (24-12\sqrt{3})$

I, finalment, en funció del radi $r$ del circumferència circumscrita al dodecàgon,

$A=3r^2$

La seua àrea representa els $\frac{2}{\sqrt{3}}$ de l'àrea de l'hexàgon regular inscrit en la mateixa circumferència.