Disseny factorial
En estadística, un experiment factorial és un procediment de disseny experimental en el que dos o més factors (variables independents) són tractats de forma simultànea per a diferents valors, generalment discrets, compresos ent un màxim i un mínim, denominats nivells, de manera que en cada ensaig complet o rèplica de l'experiment s'investiguen totes les combinacions possibles dels nivells dels factors, lo que fa que este tipo de dissenys siguen molt eficients, des del punt de vista estadístic.[1] Este tipo d'experiments permeten estudiar l'efecte que té cada factor sobre la resposta experimental o variable resposta, aixina com l'efecte de les interaccions entre factors sobre dita variable.
Introducció
[editar | editar còdic]Els dissenys factorials ya varen ser utilisats en el XIX per John Bennet Lawes i Henry J. Gilbert, fundadors, en 1843 de l'Estació experimental de Rothamsted, el primer institut organisat d'investigació agrícola del món. Gilbert, químic, va aportar el rigor científic en l'experimentació i estudi de les senyes obtingudes dels diferents experiments, creant un llegat perdurable per a la ciència agrícola,[2] encara que és possible que el terme "factorial" no haja segut utilisat com a tal, per a definir este tipo de disseny experimental, a lo manco en forma impresa, fins a 1935, quan R. Fisher ho va utilisar en el seu llibre The Design of Experiments (1935).[3] Durant la década de 1920 i començ de la de 1930, el biòlec i estadístic anglés Ronald Fisher va ser el responsable de l'anàlisis de senyes i estudi estadístic de la Rothamsted Agricultural Experimental Station. Este científic, en les seues discussions i exposicions, cap a 1926 ya va plantejar que els dissenys «complexos», tals com els dissenys factorials, eren més eficients que els estudis unifactoriales, és dir aquells estudis en els sol s'examina un factor cada volta. Fisher va escriure: «cap aforisme es repetix tan freqüentment respecte de les proves de camp, que aquell de que a la Naturalea devem fer-li poques preguntes, o, idealment, fer-li-les d'una. Qui escriu està convençut de que este punt de vista està totalment equivocat».
Els dissenys factorials es consideren molt eficients, sobretot en els inicis d'un estudi experimental, quan encara no es coneixen ben quins són els factors més influents, els seus rancs d'influència i les seues interaccions. Un atre benefici d'estos dissenys és que permeten realisar experiments en tot l'espectre de factors.[4] Per últim, un disseny factorial permet que l'efecte de varis factors i inclús les interaccions entre ells siguen determinats en el mateix número d'ensajos que són necessaris per a determinar qualsevol dels efectes per sí solament en el mateix grau d'exactitut.
Notació
[editar | editar còdic]Els dissenys factorials es descriuen per mig de dos elements: el número de factors i el número de nivells de cada factor i els experiments i les condicions en que es realisa cada u d'ells s'obtenen de la combinació, o més correctament, variació simultànea de tots els factors per a cada u dels de nivells. Per lo tant, el número total d'experiments que deuran portar-se a terme en este tipo de disseny es pot establir de bestreta, ya que matemàticament es tracten de variacions en repetició.
A on N indica el número total d'experiments en funció dels nivells, l, elegits i dels factors, k, inclosos en l'experiment. D'esta manera, en el cas de disseny factorial més senzill, el de dos factors i dos nivells en cada factor (disseny factorial de 2×2) és necessari realisar 4 experiments. Per a tres factors i dos nivells per factor, el número d'experiments serà igual a 8 (23) o si fora para igual número de factors pero tres nivells, la cantitat total d'experiments a realisar seria N=33; és dir 27 i aixina successivament.
En els dissenys experimentals, sobretot en els factorials, és freqüent codificar tant els factors, com els nivells en els que estos van a variar. Açò es fa per pura comoditat, per a aforrar espai, sobretot quan els noms dels factors són relativament llarcs o complexos i els valors dels nivells, números grans o en varis decimals, lo que dificulta la seua escritura. També és habitual escalar els valors dels nivells. El escalat consistix en fer una transformació matemàtica dels valors de les variables o factors per a que tots ells queden confinats en un ranc [a, b], típicament [-1, 1]. A voltes, quan en el disseny experimental es busca trobar qué factors tenen major influència sobre la resposta experimental, també se sol portar a terme una normalisació. La normalisació consistix en transformar els factors de manera que tots compartixquen un mateix valor mig i una mateixa desviació mija.
Existixen diverses tradicions per a denotar els nivells de cada factor. En este sentit, un disseny factorial que fòra de dos factors per a dos nivells de variabilitat de cada factor, els factors podrien codificar-se, per eixemple, com a factor A i factor B o, també, factor x1 i factor x2, o de qualsevol atra forma que es crea oportuna. Sobre els nivells, si van a ser dos i van a estar escalats, el nivell més baix de cada factor rep la notació -1 i el més alt +1. També existixen atres notacions utilisades en dissenys de dos nivells, com per eixemple, denominar el nivell més baix en el valor 0 i el nivell més alt en el valor 1. Una atra notació, quan els factors s'han codificat en lletres mayúscules, és indicar en la mateixa lletra que el factor, pero en minúscula, l'experiment del disseny en que dit factor es troba en el nivell màxim, donant per fet que l'atre es troba en el seu nivell mínim. Quan abdós factors es troben en el nivell màxim, l'experiment s'indica en abdós lletres i quan coincidix en la combinació en que tots els factors es troben en el nivell mínim, l'experiment es codifica en 1.[5] La següent taula mostra diferents notacions per a un disseny factorial N = 22 (dos factors i dos nivells per factor)
| Experiment | Factor | Combinació | Factor | ||
|---|---|---|---|---|---|
| A (x1) | B (x2) | A (x1) | B (x2) | ||
| 1 | - | - | 1 | 0 | 0 |
| 2 | + | - | 1 | 0 | |
| 3 | - | + | b | 0 | 1 |
| 4 | + | + | ab | 1 | 1 |
Eixemple
[editar | editar còdic]L'experiment factorial més simple conté dos nivells per a cada u dels factors. Suponga's que un ingenier desija estudiar l'energia total usada per cada u de dos diferents motors, A i B, funcionant cada u en alguna de les següents dos velocitats: 2000 o 3000 rpm. L'experiment factorial consistiria en els següents quatre elements experimentals:
| Experiment | Factor (codificat) | Factor (no codificat) | ||
|---|---|---|---|---|
| A | B | Motor A | Motor B | |
| 1 | - | - | 2000 RPM | 2000 RPM |
| 2 | + | - | 3000 RPM | 2000 RPM |
| 3 | - | + | 2000 RPM | 3000 RPM |
| 4 | + | + | 3000 RPM | 3000 RPM |
Com pot vore's, mai es repetix la mateixa combinació de factors i nivells.
Representació gràfica
[editar | editar còdic]
Quan el número de factors és de dos o de tres i no hi ha un número elevat de nivells, els dissenys poden ser representats gràficament per mig de figures geomètriques el centre de les quals és el centre de coordenades d'un sistema de coordenades cartesianas en les que cada eix representa un factor. En estos casos és freqüent, encara que no sempre, codificar els factors com a x1, x2 i x3 i cada experiment ve representat per les coordenades dels punts més significatius. Per a facilitar la seua representació se solen utilisar els nivells escalats i centrats. Açò permet visualisar ràpidament el disseny i sol ser útil a l'hora de l'interpretació de les respostes, ya que és freqüent que quan el disseny està dirigit a l'estudi de les respostes experimentals, els resultats de les mides corresponents a cada experiment (variable resposta o variable depenent), es coloquen junt a cada vèrtiç, de manera que d'una sola mirada es pot apreciar el resultat que té cada combinació de nivells i factors sobre el resultat dels experiments.
En els casos dels dissenys de més de dos nivells, també és possible representar-los gràficament, encara que a mida que aumenta el número de nivells la representació gràfica es fa més complexa. El disseny gràfic per a dos factors i tres nivells (N = 32), els nou possibles experiments s'obtindrien a partir de les coordenades dels vèrtiços, com en el disseny 2x2, a les que cal afegir les quatre coordenades corresponents al centre de cada costat del quadrat més les coordenades del centre de la figura geomètrica. En el cas d'un disseny per a tres factors i tres nivells, a les coordenades dels vèrtiços de la gaveta (8) cal afegir les corresponents als centres de cada aresta (12), les dels centres de cada cara (6) i les coordenades del centre de la gaveta, en total, vintisset experiments (N = 33). En la taula es mostren les coordenades que representen els 27 punts d'este disseny.
| Experiment
(coordenades) |
Factor (codificat) | Experiment
(coordenades) |
Factor (codificat) | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x1 | x2 | x3 | x1 | x2 | x3 | |||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 15 | 0 | 0 | -1 | |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 16 | 0 | -1 | 1 | |
| 3 | 1 | 1 | -1 | 17 | 0 | -1 | 0 | |
| 4 | 1 | 0 | 1 | 18 | 0 | -1 | -1 | |
| 5 | 1 | 0 | 0 | 19 | -1 | 1 | 1 | |
| 6 | 1 | 0 | -1 | 20 | -1 | 1 | 0 | |
| 7 | 1 | -1 | 1 | 21 | -1 | 1 | -1 | |
| 8 | 1 | -1 | 0 | 22 | -1 | 0 | 1 | |
| 9 | 1 | -1 | -1 | 23 | -1 | 0 | 0 | |
| 10 | 0 | 1 | 1 | 24 | -1 | 0 | -1 | |
| 11 | 0 | 1 | 0 | 25 | -1 | -1 | 1 | |
| 12 | 0 | 1 | -1 | 26 | -1 | -1 | 0 | |
| 13 | 0 | 0 | 1 | 27 | -1 | -1 | -1 | |
| 14 | 0 | 0 | 0 | |||||
Els experiments que contenen tots els valors distints de zero corresponen a les coordenades dels vèrtiços de la gaveta; els que contenen un zero, a les arestes; els que contenen dos zeros als centres de les cares i l'experiment dels tres zeros, correspon a les coordenades del centre de la gaveta, ya que este coincidix en l'orige de coordenades.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Montgomery (2001). «Chap. 5. Introduction to factorial desig», Design and analysis of experiments, 5.ª edició (en en), John Wiley. ISBN 978-0-471-31649-7.
- ↑ <cite style="font-style:normal" id="CITAREFLawesGilbert1895">Lawes; Gilbert, {{{nom2}}} (1895). The Rothamsted Experiments: Being an Account of Some of the Results of the Agricultural Investigations Conducted at Rothamsted (en en), Blackwood.
- ↑ <cite style="font-style:normal" id="CITAREFFisher1935">Fisher (1935). The Design of Experiments (en en), Oliver and Boyd.
- ↑ Otto (2017). «Chap. 4.3. Experimental Design and Response Surface Methods», Chemometrics: statistics and computer application in analytical chemistry, 3.ª edició (en en), Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-34097-2.
- ↑ Morgan (1991). «Chap. 3.2. Factorial experiments at two leveles», Chemometrics: experimental design (en en), J. Wiley & sons. ISBN 978-0-471-92903-1.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Diseño factorial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.