Diferència de potencial

El potencial elèctric o també treball elèctric en un punt, és el treball a realisar per unitat de càrrega per a moure dita càrrega dins d'un camp electrostàtic des del punt de referència fins al punt considerat,^[1] ignorant el component irrotacional del camp elèctric. Dit d'una atra forma, és el treball que deu realisar una força externa per a dur una càrrega positiva unitària des del punt de referència fins al punt considerat, en contra de la força elèctrica i a velocitat constant. Aritméticamente s'expressa com el cocient:

El potencial elèctric solament es pot definir unívocamente per a un camp estàtic produït per càrregues que ocupen una regió finita de l'espai. Per a càrregues en moviment deu recórrer-se als potencials de Liénard-Wiechert per a representar un camp electromagnètic que ademés incorpore l'efecte de retart, ya que els destorbament del camp elèctric no es poden propagar més ràpit que la velocitat de la llum. Si es considera que les càrregues estan fòra de dit camp, la càrrega no conta en energia i el potencial elèctric equival al treball necessari per a dur la càrrega des de l'exterior del camp fins al punt considerat. L'unitat del Sistema Internacional és el volt (V). Tots els punts d'un camp elèctric que tenen el mateix potencial formen una superfície equipotencial. Una forma alternativa de vore el potencial elèctric és que a diferència de l'energia potencial elèctrica o electrostàtica, ell caracterisa solament una regió de l'espai sense prendre en conte la càrrega que es coloca ahí.

Treball elèctric i energia potencial elèctrica

Considere's una càrrega elèctrica puntual $q$ en presència d'un camp elèctric $\vec{E}$ . La càrrega experimentarà una força elèctrica:

Esta força realisarà un treball per a traslladar la càrrega o element d'un punt A a un atre B, de tal forma que per a produir un chicotet desplaçament $d l$ la força elèctrica farà un treball diferencial $d W$ expressat com:

Per lo tant, integrant l'expressió (2) s'obté el treball total realisat pel camp elèctric:

Un cas particular de la fòrmula anterior, és el del cas d'un camp elèctric creat per una càrrega puntual estàtica Q. Siga una càrrega puntual $q$ que recorre una determinada trayectòria A - B en les immediacions d'una càrrega $Q$ tal com mostra la figura 1. Sent $d r$ el desplaçament infinitesimal de la càrrega $q$ en la direcció radial, el treball diferencial $d W$ es pot expressar aixina:

per a calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante $r_{A}$ de la carga $Q$ y la posición final B, distante $r_{B}$ de la carga $Q$ :

En l'expressió (5), $ϵ_{0}$ és la permitivitat del buit; de dita expressió es conclou que el treball $W$ no depén de la trayectòria seguida per la partícula, només depén de la posició inicial i final, lo qual implica que la força elèctrica $\vec{F}$ és una força conservativa. Per tant es pot definir una energia potencial que permet calcular el treball més fàcilment:

(6) $E_{p} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q q}{r}$

El treball realisat per la força elèctrica per a desplaçar una partícula entre A i B serà:

(7) $W = - Δ E_{p} = E_{p_{A}} - E_{p_{B}}$

Usualment, el nivell zero d'energia potencial se sol establir en l'infinit, és a dir, si i només si $r = \infty \to E_{p} = 0$ (açò té que vore en l'elecció de la constant d'integració en la fòrmula del potencial).

Diferència de potencial elèctric

Considere's una càrrega de prova positiva ___* $q_{0}$ en presencia d'un campo eléctrico y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como:

V_{B} - V_{A} = - \frac{W_{A B}}{q_{0}}

El treball $W_{A B}$ pot ser positiu, negatiu o nul. En estos casos el potencial elèctric en B serà respectivament major, menor o igual que el potencial elèctric en A. L'unitat en el SI per a la diferència de potencial que es deduïx de l'equació anterior és Joule/Coulomb i es representa mijançant una nova unitat, el volt, açò és: 1 volt = 1 Joule/Coulomb. Un electronvolt (eV) és l'energia adquirida per a un electró en moure's a través d'una diferència de potencial d'1 V, 1 eV = 1,6x10^-19 J. A voltes es necessiten unitats majors d'energia, i s'usen els quiloelectronvolts (keV), megaelectronvolts (MeV) i els gigaelectronvolts (GeV). (1 keV = 10³ eV, 1 MeV = 10⁶ eV, i 1 GeV = 10⁹ eV). Aplicant esta definició a la teoria de circuits i des d'un punt de vista més intuïtiu, es pot dir que el potencial elèctric en un punt d'un circuit representa l'energia que posseïx cada unitat de càrrega al pas per dit punt. Aixina, si dita unitat de càrrega recorre un circuit constituint-se en corrent elèctric, esta anirà perdent la seua energia (potencial o tensió) a mida que travessa els diferents components d'este. Òbviament, l'energia perduda per cada unitat de càrrega es manifestarà com a treball realisat en dit circuit (calfament en una resistència, llum en un llum, moviment en un motor, etc.). Per contra, esta energia perduda es recupera al pas per fonts generadores de tensió. És convenient distingir entre potencial elèctric en un punt (energia per unitat de càrrega situada en eixe punt) i corrent elèctric (número de càrregues que travessen dit punt per segon). Usualment s'escull el punt A a una gran distància (en rigor l'infinit) de tota càrrega i el potencial elèctric $V_{A}$ ad esta distància infinita rep arbitràriament el valor zero. Açò permet definir el potencial elèctric en un punt posant $V_{A} = 0$ i eliminant els índexs:

V = \frac{W}{q_{0}}

sent $W$ el treball que deu fer un agent exterior per a moure la càrrega de prova $q_{0}$ des de l'infinit al punt en qüestió. Observe's que l'igualtat plantejada depén de que es dona arbitràriament el valor zero al potencial $V_{A}$ en la posició de referència (l'infinit) el qual s'haguera pogut escollir de qualsevol atre valor aixina com també s'haguera pogut seleccionar qualsevol atre punt de referència. També cal fer notar que segons l'expressió que definix el potencial elèctric en un punt, el potencial en un punt pròxim a una càrrega positiva aïllada és positiu perque deu fer-se treball positiu mijançant un agent exterior per a dur al punt una càrrega de prova (positiva) des de l'infinit. Similarment, el potencial prop d'una càrrega negativa aïllada és negatiu perque un agent exterior deu eixercir una força (treball negatiu en este cas) per a sostindre a la càrrega de prova (positiva) quan esta (la càrrega positiva) ve des de l'infinit. Per últim, el potencial elèctric queda definit com un escalar perque $W$ i $q_{0}$ són escalars. Tant $W_{A B}$ com $V_{B} - V_{A}$ són independents de la trayectòria que se seguisca en moure la càrrega de prova des del punt A fins al punt B. Si no fòra aixina, el punt B no tindria un potencial elèctric únic respecte al punt A i el concepte de potencial seria d'utilitat restringida.

És possible demostrar que les diferències de potencial són independents de la trayectòria per al cas especial representat en la figura. Per a major simplicitat s'han elegit els punts A i B en una recta radial. Una càrrega de prova pot traslladar-se des d'A cap a B seguint la trayectòria I sobre una recta radial o la trayectòria II completament arbitrària. La trayectòria II pot considerar-se equivalent a una trayectòria trencada formada per seccions d'arc i seccions radials alternades. Com estes seccions es poden fer tan chicotetes com es vullga, la trayectòria trencada pot aproximar-se a la trayectòria II tant com es vullga. En la trayectòria II l'agent extern fa treball solament al llarc de les seccions radials, perque al llarc dels arcs, la força $\vec{F}$ i el corriment $\vec{d} l$ són perpendiculars i en tals casos $\vec{F} d \vec{l}$ és nul. La suma del treball fet en els segments radials que constituïxen la trayectòria II és el mateix que el treball efectuat en la trayectòria I, perque cada trayectòria està composta del mateix conjunt de segments radials. Com la trayectòria II és arbitrària, s'ha demostrat que el treball realisat és el mateix per a totes les trayectòries que unixen A en B. Encara quan esta prova només és vàlida per al cas especial ilustrat en la figura, la diferència de potencial és independent de la trayectòria per a dos punts qualssevol en qualsevol camp elèctric. Se'n desprén el caràcter conservatiu de l'interacció electrostàtica el qual està associat a la naturalea central de les forces electrostàtiques. Per a un parell de plaques paral·leles en les quals es complix que $V = E d$ , a on d és la distància entre les plaques paral·leles i E és el camp elèctric constant en la regió entre les plaques.

Camp elèctric uniforme

Sean A i B dos punts situats en un camp elèctric uniforme, estant A a una distancia d de B en la direcció del camp, tal com mostra la figura.

Considere's una càrrega de prova positiva q movent-se sense acceleració, per efecte d'algun agent extern, seguint la recta que unix A en B. La força elèctrica sobre la càrrega serà qE i apunta cap a avall. Per a moure la càrrega en la forma descrita dalt, es deu contrarrestar eixa força aplicant una força externa F de la mateixa magnitut pero dirigida cap a dalt. El treball $W$ realisat per l'agent que proporciona esta força és:

W_{A B} = F d = q E d

Teniendo en cuenta que:

V_{B} - V_{A} = \frac{W_{A B}}{q}

sustituyendo se obté:

V_{B} - V_{A} = \frac{W_{A B}}{q} = E d

Esta equació mostra la relació entre la diferència de potencial i l'intensitat de camp en un cas senzill especial. El punt B té un potencial més elevat que el A. Açò és raonable perque un agent exterior tindria que fer treball positiu per a moure la càrrega de prova de A cap a B.

Camp elèctric no uniforme

En el cas més general d'un camp elèctric no uniforme, est eixercix una força sobre la càrrega de prova, tal com es veu en la figura. Per a evitar que la càrrega accelere, deu aplicar-se una força que siga exactament igual per a totes les posicions del cos de prova. Si l'agent extern fa que el cos de prova es moga seguint un corriment $d \vec{l}$ al llarc de la trayectòria d'A a B, l'element de treball desenrollat per l'agent extern és $\vec{F} \cdot d \vec{l}$ . Per a obtindre el treball total $W_{A B}$ fet per l'agent extern en moure la càrrega d'A a B, se sumen les contribucions al treball de tots els segments infinitesimals en què s'ha dividit la trayectòria. Així s'obté:

W_{A B} = \int_{A}^{B} - \vec{F} \cdot d \vec{l} = - q \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}

Como

V_{B} - V_{A} = \frac{W_{A B}}{q}

, al sustituir en esta expresión, se obté que

V_{B} - V_{A} = - \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}

Si es pren el punt A infinitament allunyat, i si el potencial $V_{A}$ a l'infinit pren el valor de zero, esta equació dona el potencial en el punt B, o be, eliminant el subíndex B,

V = - \int_{\infty}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l}

Estes dos equacions permeten calcular la diferència de potencial entre dos punts qualssevol si es coneix $\vec{E}$ .

Expressió general

El potencial elèctric sol definir-se a través del camp elèctric a partir del teorema del treball de la física. a on I és el camp elèctric vectorial generat per una distribució de càrrega elèctrica. Esta definició mostra que estrictament el potencial elèctric no està definit sino tan soles seues variacions entre punts de l'espai. Per lo tant, en condicions de camp elèctric nul el potencial associat és constant. Sol considerar-se no obstant que el potencial elèctric en un punt infinitament alluntat de les càrregues elèctriques és zero per lo que l'equació anterior pot escriure's:

En térmens d'energia potencial el potencial en un punt r és igual a l'energia potencial entre la carrega Q:

El potencial elèctric segons Coulomb, també pot calcular-se a partir de la definició d'energia potencial d'una distribució de càrregues en repòs:

a on ___* $V o l$ és un volum que conté la regió de l'espai que conté les càrregues (s'assumix que dita regió és acotada en l'espai).

Eixemples de potencial elèctric associats a diferents distribucions de càrrega

Potencial per una càrrega puntual

Considérense els puntos A y B y una carga puntual $q_{0}$ situada en el origen, tal como muestra la figura. Consideremos que una carga de prueba, q, se mueve desde A hasta B. Si, por fijar ideas, $q_{0} > 0$ , según se muestra, $\vec{E}$ apunta a la derecha y $d \vec{l}$ , que siempre está en la direcció del movimiento, apunta cap al origen. Por consiguiente:

\vec{E} \cdot d \vec{l} = E \cos (18 0^{\circ}) d l = - E d l

Ara bé, en moure's la càrrega una trayectòria cap a l'orige, el mòdul del desplaçament infinitesimal $d \vec{l}$ és igual a la disminució de la distància r a l'orige, és a dir, $d l = - d r$ . Així doncs:

\vec{E} d \vec{l} = E d r

Por lo cual:

V_{B} - V_{A} = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{l} = - \int_{r_{A}}^{r_{B}} E d r

Combinando esta expresión con la de E per a una carga puntual se obté:

V_{B} - V_{A} = - \frac{q_{0}}{4 π ϵ} \int_{r_{A}}^{r_{B}} \frac{d r}{r^{2}} = \frac{q_{0}}{4 π ϵ} (\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}})

Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que $r_{A} \to \infty$ , considerando que $V_{A} = 0$ en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obté:

$V = \frac{1}{4 π ϵ} \frac{q_{0}}{r}$

Esta equació mostra clarament que les superfícies equipotencials per a una càrrega puntual aïllada són esferes concèntriques a la càrrega puntual.

Superfícies equipotencials produïdes per una càrrega puntual

Potencial per dos càrregues puntuals

El potencial en un punt P per dos càrregues és la suma dels potencials per cada càrrega individual en dit punt.

___*

V = \frac{1}{4 π ϵ} \frac{q_{1}}{r_{1}} + \frac{1}{4 π ϵ} \frac{q_{2}}{r_{2}} = \frac{1}{4 π ϵ} (\frac{q_{1}}{r_{1}} + \frac{q_{2}}{r_{2}})

Sent $r_{1}$ i $r_{2}$ les distàncies entre les càrregues $q_{1}$ i $q_{2}$ i el punt P respectivament.

Potencial elèctric generat per una distribució discreta de càrregues

El potencial en un punt qualsevol per un grup de càrregues punt s'obté calculant el potencial ___* $V_{n}$ degut a cada càrrega, com si les atres càrregues no existiren, i sumant les cantitats aixina obtingudes, o siga:

V = \sum_{n} V_{n} = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \sum_{n} \frac{q_{n}}{r_{n}}

sent $q_{n}$ el valor de l'enèsima càrrega i $r_{n}$ la distància de la mateixa al punt en qüestió. La suma que s'efectua és una suma algebraica i no una suma vectorial. En açò radica l'avantage de càlcul del potencial sobre la d'intensitat del camp elèctric. Les superfícies equipotencials tallen perpendicularment a les llínees de camp. En el gràfic es representa l'intersecció de les superfícies equipotencials en el pla XY.

L'equació de les llínees equipotencials és:

\frac{d x}{d y} = - \frac{E_{y}}{E_{x}}

Potencial elèctric generat per una distribució contínua de càrrega

Si la distribució de càrrega és contínua i no una colecció de punts, la suma deu reemplaçar-se per una integral:

___*

V = \int d V = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{d q}{r}

sent dq un element diferencial de la distribució de càrrega, r la seua distància al punt en el qual es calcula V i dV el potencial que dq produïx en eixe punt.

Potencial elèctric generat per un pla infinit

Un pla infinit en densitat de càrrega de superfície ___* $σ$ crea un campo eléctrico saliente en la direcció perpendicular al plano de valor constante

E = \frac{σ}{2 ϵ_{0}} .

Si x és la direcció perpendicular al plà i este es troba en x=0, el potencial elèctric en tot punt x és igual a:

V (x) = - \frac{σ x}{2 ϵ_{0}} .

A on s'ha considerat com a condició de contorn V(x)=0 en x=0

Esfera conductora carregada

Siga Q la càrrega total almagasenada en l'esfera conductora. Per tractar-se d'un material conductor les càrregues estan situades en la superfície de l'esfera sent neutre el seu interior.

Potencial en l'exterior de la corfa: El potencial en l'exterior de la corfa és equivalent al creat per una càrrega puntual de càrrega Q en el centre de l'esfera.

___*

V = \frac{K Q}{r} .

a on $r$ és la distància entre el centre de l'escorça i el punt en el que medim el potencial elèctric.

Potencial en el interior de la corteza: El campo eléctrico en el interior d'una esfera conductora es cero, de modo que el potencial permanece constante al valor que alcanza en su superficie.

V = \frac{K Q}{R} .

A on $R$ és el radi de l'esfera.

Vore també

Referències

↑ Usualment el punt de referència es pren com un punt arbitrariamente alluntat de les càrregues que produïxen el camp electrostàtic.

Bibliografia

Halliday/Resnick - Física, tom II, pp. 639,652. 5ta Edició 2011

Enllaços externs

Este artícul conté una traducció derivada de «Potencial eléctrico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Usualment el punt de referència es pren com un punt arbitrariamente alluntat de les càrregues que produïxen el camp electrostàtic.

[1]