Difeomorfismo isocórico

En matemàtiques i hidrodinàmica, un difeomorfismo isocórico o isovolumétrico és un difeomorfismo que conserva el volum. El moviment d'un decorregut incompresible pot ser representat per difeomorfismos isocóricos.

Grup de Lie de difeomorfismos isocóricos

Si el conjunt de tots els difeomorfimos isocóricos d'un domini $ℳ$ es designa per $\mathrm{S}\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(ℳ)$ [a on la S s'usa en anaología en la S de special en el grup $\mathrm{S}\mathrm{L}({ℝ}^n)$ per ser el seu jacobiano en cada punt igual a 1]. Este conjunt pot ser dotat de manera òbvia de l'estructura de grup de Lie de dimensió infinita. Llavors el moviment del decorregut pot representar-se per una simple curva sobre dit grup de Lie.

l'àlgebra de Lie associada al grup de Lie anterior, pot identificar-se en l'espai vectorial [de dimensió infinita] de tots els camps vectorials definits sobre el fibrado tangente de $ℳ$.

Curvatura del grup de difeomorfismos

Sobre el grup de difeomorfismos isocóricos pot definir-se una mètrica de Riemann que convertix al grup de Lie de difeomorfismos en una varietat de Riemann de dimensió infinita. Un resultat fonamental demostrat per Arnol'd és que dita varietat té curvatura seccionales negatives en un entorn del difeomorfismo unitat la qual cosa implica que les geodèsiques de dit sistema divergixen.

La divergència geodèsica té gran importància per a explicar per qué el temps atmosfèric és un sistema caòtic altament impredictible. La curvatura negativa i la divergència geodèsica impliquen que chicotetes desviacions de les condicions inicials produïxen a la veta d'un temps soluciones notablement diferents. Ya que els pronòstics del temps atmosfèric es basen en un conjunt d'observacions inicials en una precisió finita, qualsevol diferència per chicoteta que siga entre l'observació inicial i el valor real (que sempre existirà en térmens pràctics) farà que a la veta d'uns dies la diferència entre les simulacions numèriques del temps atmosfèric i el temps real hi haurà diferedio significativement. En els mijos disponibles a principis de el XXI, el temps típic per a una predicció és com a màxim d'uns 10 dies, despuix d'eixe periodo les càlculs més exactes ya diferixen notablement de la realitat. L'única possibilitat és aumentar la precisió de les senyes inicials.

Referències

Bibliografia

• Arnolʹd, V. I. (1998). Topological methods in hydrodynamics (Vol. 125). Springer.