Cup de Hilbert

Cup de Hilbert: primers 4 passos de construcció. La quarta image és una proyecció estereoscópica de la figura 4D.

En matemàtiques, el cup de Hilbert (cridat aixina per David Hilbert) és un espai topològic que proporciona un eixemple instructivo d'algunes idees sobre topología. Ademés, molts espais topològics interessants es poden incrustar en la cup de Hilbert; és dir, es poden vore com subespacios de la cup de Hilbert.

Definició

La cup de Hilbert es definix millor com el producte topològic dels intervals $[0,\frac{1}{n}]$ per a $n\in \mathbb{N}$. És dir, és un cuboide de dimensió infinitament contable, a on les llongituts de les vores en cada direcció ortogonal formen la seqüència $\{1/n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$.

La cup de Hilbert és homeomórfico al producte d'innumerables còpies de l'interval unitat $[0,1]$. En atres paraules, és indistinguible topológicamente de la cup unitària de dimensió infinitament contable.

Si un punt en la cup de Hilbert esta especificat per una seqüència $\{a_n\}$ en $0\le a_n\le 1/n$, llavors un homeomorfisme a la cup d'unitat de dimensió infinita és donat per $\{a_n\}$ en $0\le a_n\le 1/n$.

Propietats

Com a producte dels espais compactes de Hausdorff, la cup de Hilbert és en sí mateixa un espai compacte de Hausdorff com a resultat de la teorema de Tychonoff. La compacidad de la cup de Hilbert també es pot provar sense l'Axioma d'elecció per mig de la construcció d'una funció contínua a partir del Cantor habitual. posada en la cup de Hilbert.

En ℓ2, cap punt té un veïnat compacte (per lo tant, ℓ2 no és compacta localment). Un podria esperar que tots els subconjunts compactes de 2 siguen de dimensió finita.La cup de Hilbert mostra que este no és el cas.Pero la cup de Hilbert no és un veïnat de cap punt p perque el seu costat es torna més i més chicotet cada dimensió, de modo que una bola oberta al voltant de p de qualsevol radi fix i> 0 deu eixir de la cup en alguna dimensió.

Cada subconjunt de la cup de Hilbert hereta de la cup de Hilbert les propietats de ser metrizable (i, per lo tant, T4) i segon contable. És més interessant que ho contrarie també se sosté: cada segon espai T4 contable és homeomorfo a un subconjunt de la cup de Hilbert.

Cada subconjunt G_δ de la cup de Hilbert és un espai polac, un espai topològic homeomórfico a un espai mètric separable i complet. A l'inversa, cada espai polac és homeomorfo per a un subconjunt G_δ de la cup de Hilbert.

Referències

• Srivastava, Sashi Mohan (1998). A Course on Borel Sets, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98412-4. Consultat el 4 de decembre de 2008.