Correlació (geometria proyectiva)
En geometria proyectiva, una correlació és una transformació d'un espai proyectivo de d-dimensions que assigna un subespacio de dimensió k sobre subespacios de dimensió (d − k − 1), invertint la relació d'inclusió i preservant la relació d'incidència. Les correlació també es denominen reciprocitat o transformacions recíproques.
Des del punt de vista de la geometria descriptiva, es diu que existix una correlació entre dos plans proyectivos quan s'establix una correspondència entre abdós que assigna entre sí elements de distinta classe (punts a rectes i viceversa); i de forma anàloga, dos espais proyectivos estan correlacionados quan els elements que es corresponen entre sí són de distinta classe (punts a plans i viceversa).[1]
En dos dimensions
[editar | editar còdic]En el pla proyectivo real, els punts i les rectes són elements duals entre sí. Com ho expressa Coxeter:
- Una correlació és una transformació punt a llínea recta i llínea recta a punt que preserva la relació d'incidència d'acort en el principi de dualitat. Aixina, transforma rancs en fas, fas en rancs, quadrànguls en quadrilàters, etc.[2]
Donada una recta m i un punt P que no està en m, s'obté una correlació elemental de la següent manera: per a cada Q sobre m es forma la recta PQ. La correlació inversa comença en el fes de rectes que passen per P: per a qualsevol llínea recta q d'est fes, es pren el punt m ∩ q. La composició de dos correlació que compartixen el mateix fes és una perspectividad.
En tres dimensions
[editar | editar còdic]En un espai proyectivo tridimensional, una correlació assigna un punt a un pla:[3]
- Si κ és tal correlació, cada punt P es transforma en un pla π′= κP i, a l'inversa, cada punt P sorgix d'un únic pla π′ per la transformació inversa κ-1.
Les correlació tridimensionals també transformen rectes en rectes, per lo que poden considerar-se colineaciones dels dos espais.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ (setembre de 1975) Geometria Descriptiva Superior i Aplicada, DOSSAT, pp. 136 de 642. ISBN 8423704416.
- ↑ Harold Scott MacDonald Coxeter (1974) Projective Geometry, second edition, page 57, University of Toronto Press ISBN 0-8020-2104-2
- ↑ J. G. Semple and G. T. Kneebone (1952) Algebraic Projective Geometry, p 360, Oxford University Press
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Robert J. Bumcroft(1969).«Modern Projective Geometry».Holt, Rinehart, and Winston.
- Robert A. Rosenbaum(1963).«Introduction to Projective Geometry and Modern Algebra».Addison-Wesley.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Correlación (geometría proyectiva)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.