Conjectura de Ramanujan–Petersson

En matemàtica, la conjectura de Ramanujan, cridada aixina en honor a Srinivasa Ramanujan, postula que els coeficients de Fourier $\tau (n)$ de la forma de cim $\Delta (z)$ de valor 12, definida en la teoria de formes modular satisfà que,

$|\tau (n)|\le 2p^{11/2},$

a on $p$ no és un número primo. Açò implica una estimació que solament és llaugerament més dèbil per a tots els $\tau (n)$, és dir, $O(n^{\frac{11}{2}+\epsilon })$ per a qualsevol $\epsilon >0$. Esta conjectura de Ramanujan va ser confirmada per mig de la demostració de les conjectura de Weil per Deligne (1974). Les formulació necessàries per a mostrar este resultat varen ser com a conseqüència delicades i no tan òbvies. Açò es deu al treball de Michio Kuga en les contribucions també de Mikio Sato, Goro Shimura, i Yasutaka Ihara, seguits per Deligne (1968). L'existència de dita conexió va inspirar alguns dels grans treballs sobre el tema a finals de la década de 1960, quan les conseqüències de la teoria sobre la cohomología de Étale estaven sent elaborades.

La més general conjectura de Ramanujan–Petersson para formes cims en la teoria de formes modular elíptiques para subgrups de congruència té una formulació semblant, en un exponent (k − 1)/2 a on k és el valor de la forma. Estos resultats també es poden obtindre a partir de les conjectura de Weil, llevat para el cas  k = 1, el resultat del qual és per Deligne i Jean-Pierre Serre. És cridada en honor a Hans Petersson (1902 – 1984).

En el llenguage de formes automórficas, una generalisació molt àmplia pot ser possible; pero ha demostrat ser massa optimiste, pel cas particular de $GS{p}_4$, és dir, la similitut del grup de quatre dimensions denominat grup simpléctico, per a la qual han segut trobats contraeixemples. La forma generalisada apropiada per a la conjectura de Ramanujan està encara en espera; la formulació de les conjectura d'Arthur està en térmens per als quals s'explica el mecanisme que permet cert tipo de contraeixemples.

Aplicacions

La més famosa aplicació de la conjectura de Ramanujan és la construcció explícita de grafos de Ramanujan per Lubotzky, Phillips i Sarnak. En efecte, esta conjectura va donar nom a este tipo de grafos.