Conjectura de Gilbreath

La conjectura de Gilbreath és una proposició de teoria de números sobre les successions generades aplicant diferències finitas a número primo consecutius i deixant els resultats sense signe, i després repetint este procés en térmens consecutius en la seqüència resultant, i aixina successivament. La declaració du el nom de Norman L. Gilbreath qui, en 1958, la va presentar a la comunitat matemàtica despuix d'observar el patró per casualitat mentres feya aritmètica en una torcaboca. En 1878, huitanta anys abans del descobriment de Gilbreath, François Proth, no obstant, havia publicat les mateixes observacions junt en un intent de demostració, que posteriorment es va demostrar que era fals.

Motivació aritmètica

Gilbreath va observar un patró mentres jugava en la seqüència ordenada d'número primo

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...

En calcular el valor absolut de la diferència entre el terme n + 1 i el terme n en esta seqüència, s'obté la seqüència

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...

Si es fa el mateix càlcul per als térmens en esta nova seqüència, i la seqüència que és el resultat d'este procés, i novament "ad infinitum" per a cada seqüència que és el resultat de tal càlcul, les següents cinc seqüències en esta llista són

1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 0, 2, ...

1, 2, 0, 0, 2, ...

Lo que Gilbreath, i François Proth abans que ell varen notar és que el primer terme en cada série de diferències sembla ser 1.

La conjectura

Enunciar formalment l'observació de Gilbreath és significativament més fàcil despuix d'idear una notació per a les seqüències en la secció anterior. Con este fin, denote's $(p_n)$ com la seqüència ordenada d'número primo i definixca's cada terme en la seqüència $(d_n^1)$ per

$d_n^1=p_{n+1}-p_n,$

a on $n$ és positiu. Ademés, per a cada número entero $k$ major que 1, es fa que els térmens en $(d_n^k)$ estiguen donats per

$d_n^k=|d_{n+1}^{k-1}-d_n^{k-1}|.$

La conjectura de Gilbreath establix que cada terme en la successió $a_k=d_1^k$ per a $k$ positiu és igual a 1.

Vore també

• Relació de recurrencia
• Diferència entre dos número primo consecutius
• Rule 90, un autómata celular que controla el comportament de les parts de les files que contenen solament els valors 0 i 2