Conjectura de Bateman-Horn

En teoria de números, la conjectura de Bateman-Horn és una declaració sobre la freqüència dels número primo entre els valors d'un sistema de polinomis, cridat aixina pels matemàtics Paul T. Bateman i Roger A. Horn, que la varen propondre en 1962. Proporciona una àmplia generalisació de tals conjectura com la conjectura de Hardy i Littlewood sobre la densitat de número primo bessons o la seua conjectura sobre cosins de la forma n² + 1; i també supon un enfortiment de la hipòtesis H de Schinzel.

Definició

La conjectura de Bateman-Horn proporciona una densitat conjeturada per als sancers positius en els que un conjunt donat de polinomis té tots els seus valors primers. Per a un conjunt de m polinomis irreducibles distints ƒ₁, ..., ƒ_m en coeficients sancers, una condició necessària òbvia per a que els polinomis generen simultàneament valors primers infinitament a sovint és que satisfacen la condició de Bunyakovsky, de que no existix un número primo p que dividixca el seu producte f(n) per tot sancer positiu n. Perque, si hi havia tal primer p, que tinguera tots els valors dels polinomis simultàneament primers per a un n donat implicaria que a lo manco un d'ells deu ser igual a p, lo que solament deu ocórrer per a un número finito de valors de n, o hi hauria un polinomi en un número infinit de raïls, mentres que la conjectura implica donar condicions per a que els valors siguen simultàneament primers per a un número infinit de n.

Un sancer n genera cosins per al sistema donat de polinomis si cada polinomi ƒ_i(n) produïx un número primo quan se li dona n com a argument. Si P(x) és el número de sancers cosins entre els sancers positius menors que x, llavors la conjectura de Bateman-Horn establix que

$P(x)\sim \frac{C}{D}\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{(\log t{)}^m},$

a on D és el producte dels graus dels polinomis i a on C és el producte dels primers p

$C=\prod _p\frac{1-N(p)/p}{(1-1/p{)}^m}$

en $N(p)$ el número de solucions para

$f(n)\equiv 0(\mathrm{mod}p).$

La propietat de Bunyakovsky implica que $N(p)<p$ per a tots els primers p, per lo que cada factor en el producte infinit C és positiu. Intuitivament, s'espera naturalment que la constant C siga en sí mateixa positiva, lo que es pot demostrar en una miqueta de treball (ya que alguns productes infinits de números positius són zeros).

Números negatius

Com es va indicar anteriorment, la conjectura no és certa: el polinomi únic ƒ₁(x) = −x produïx sol números negatius quan se li dona un argument positiu, per lo que la fracció d'número primo entre els seus valors és sempre zero. Hi ha dos formes igualment vàlides de refinar la conjectura per a evitar esta dificultat:

Es pot requerir que tots els polinomis tinguen coeficients principals positius, de modo que solament un número constant dels seus valors puga ser negatiu. Alternativament, es poden permetre coeficients principals negatius pero contar un número negatiu com a primer quan el seu valor absolut és primer.

És raonable permetre que els números negatius conten com a primers com un pas cap a la formulació de conjectura més generals que s'apliquen a atres sistemes de números distints dels sancers, pero al mateix temps és fàcil simplement rebujar estos polinomis si és necessari per a centrar-se en el cas en el que els coeficients principals són positius.

Referències

• (1962).«A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers».Mathematics of Computation.16(79)

363–367.doi:10.2307/2004056.

• (2004).«Unsolved problems in number theory».Springer Science+Business Mija.

• (1991).«Limitations to the equi-distribution of primes. IV.».Proceedings of the Royal Society A.435

197–204.doi:10.1098/rspa.1991.0138..