Coneiximent comú

El coneiximent comú és un terme aplicat en llògica per a definir un tipo de coneiximent especial per a un grup de subjectes. Diem que existix coneiximent comú de p en un grup de subjectes G quan tots els subjectes de G són coneixedors de p, tots ells saben que tots són coneixedors de p, tots saben que tots saben que tots són coneixedors de p, i aixina ad infinitum. David Kellogg Lewis va ser el primer en introduir este concepte en la lliteratura filosòfica en el seu estudi La convenció (1969). El sociòlec Morris Friedell va definir el coneiximent comú en un tractat en 1969. En 1976 Robert Aumann li va aplicar per primera volta una fòrmula matemàtica en un marc teòric de conjunts. Els informàtics es varen escomençar a interessar en el tema de la llògica epistémica en general, i en el coneiximent comú en particular, a partir dels anys 80. Existixen numerosos acertijos basats en este concepte que han segut objecte d'exhaustius estudis per part de matemàtics com John Conway. El filòsof Stephen Schiffer, en el seu llibre Significat de 1972, va desenrollar de manera independent una idea que va cridar «coneiximent mutu» ( $E_{G} p$ ) que funciona de manera molt semblada al «coneiximent comú» de Lewis i Friedell de 1969.

Eixemple

Acertijo

L'idea de coneiximent comú se sol introduir per mig d'alguna variable dels problemes d'inducció: En una illa hi ha k persones en ulls blaus, i el restant té els ulls verts. Al principi, ningú en l'illa sap el color dels seus propis ulls. Per norma, si una persona de l'illa descobrix que té els ulls blaus, eixa persona deu abandonar l'illa al alba, de tal manera que ningú que faça eixe descobriment dorga en l'illa més allà de l'amanecer. En l'illa, cada u sap el color d'ulls dels demés. No existixen superfícies reflectantes i no es parla sobre el color dels ulls.

En un moment determinat, un foraster aplega a l'illa, reunix a tots els seus habitants, i anuncia públicament: «A lo manco un de vosatres té els ulls blaus». Ademés, tots saben que el foraster és sincer, i tots saben que tots ho saben, etcétera: és coneiximent comú que és sincer, i, per lo tant, el fet de que a lo manco un dels habitants de l'illa té els ulls blaus es convertix també en coneiximent comú ( $C_{G} [\exists x \in G (B l_{x})]$ ). El problema: suponent que totes les persones en l'illa són completament llògiques i que això també és coneiximent comú, ¿quin és el resultat?

Solució

La resposta és que en la matinada k despuix de l'anunci, tots aquells que tenen els ulls blaus abandonaran l'illa.

Demostració

La solució es pot entendre en un raonament inductivo. Si k=1 (és dir, solament hi ha una persona en ulls blaus), eixa persona es donarà conte de que és l'única en ulls blaus (al vore que tots els demés tenen els ulls verts) i es marcharà en amanecer del primer dia. Si k=2 el primer dia no es marcharà ningú. Les dos persones en ulls blaus, al vore solament una persona en ulls blaus, i que ningú s'ha anat el primer dia (i per lo tant, k>1), es marcharan el segon dia. Per lo tant, es pot pensar que ningú es marcharà els primers amanecer k-1 si i solament si hi ha a lo manco k persones en ulls blaus. Aquells en ulls blaus, al vore k-1 persones en ulls blaus entre tots els demés i sabent que deu haver a lo manco k, pensaran que tenen els ulls blaus i s'aniran.

Lo més interessant d'esta hipòtesis és que si k>1, el foraster solament els està dient alguna cosa que els habitants de l'illa ya sabien: que alguns d'entre ells tenen els ulls blaus. No obstant, fins que no s'anuncia, este fet no és coneiximent comú.

En el cas de k=2 és simplement coneiximent de «primer orde» ( $E_{G} [\exists x \in G (B l_{x})]$ ). Tots aquells en ulls blaus saben que hi ha algú més en ulls blaus, pero no saben que els atres en ulls blaus també ho saben.

En el cas de k=3 és coneiximent de «segon orde» ( $E_{G} E_{G} [\exists x \in G (B l_{x})] = E_{G}^{2} [\exists x \in G (B l_{x})]$ ). Tot aquell en ulls blaus sap que una segona persona en ulls blaus sap que una tercera persona té els ulls blaus, pero ningú sap que hi ha una tercera persona que també ho sap, fins que el foraster fa la seua afirmació.

En general: si k>1 és coneiximent de «k-1 orde» ( $E_{G}^{k - 1} [\exists x \in G (B l_{x})]$ ). Cada persona en ulls blaus sap que una segona persona en ulls blaus sap que una tercera persona en ulls blaus sap que... (i repetim fins a un total de nivells k-1) una persona kª té ulls blaus, pero ningú sap que hi ha una persona kª en ulls blaus en eixe coneiximent, fins que el foraster fa la seua afirmació. L'idea de coneiximent comú té, per tant, un efecte palpable. El fet de saber que tots ho saben marca la diferència. Quan l'anunci del foraster (un fet conegut per tots, a menos que k=1, en eixe cas l'única persona en ulls blaus no ho hauria sabut fins al moment de l'anunci) es torna coneiximent comú, les persones de l'illa que tenen els ulls blaus deduïxen la seua condició, i es marchen.

Formulació

Llògica modal (caracterisació sintàctica)

Al coneiximent comú se li pot donar una definició llògica en sistemes llògics multi-modals en els que els operadors modals s'interpreten epistèmicament. A nivell propositivo, estos sistemes són extensions de la llògica propositiva. L'extensió consistix en l'introducció d'un grup G de subjectes i de n operadors modals K_i (si i=1,...,n) en el significat pretés de que «el subjecte i ho sap». Llavors K_i φ (a on φ és una fòrmula de càlcul) es llig «el subjecte i sap φ».

«Podem definir un subjecte I_G en el significat entés de que «tots en el grup G ho saben».

$E_{G} φ \Leftrightarrow \underset{i \in G}{⋀} K_{i} φ,$

Abreviant $E_{G} E_{G}^{n - 1} φ$ en $E_{G}^{n} φ$ i ho definim $E_{G}^{0} φ = φ$ podríem llavors definir el coneiximent comú en el següent axioma

$C φ \Leftrightarrow ⋀_{i = 0}^{\infty} E^{i} φ$

No obstant, hi ha un problema. Els llenguages de la llògica epistémica solen ser finitarios, mentres que l'axioma anterior definix el coneiximent comú com un conjunt infinit de fòrmules, per tant, no és una fòrmula de llenguage ben formada. Per a superar este problema, es pot donar una definició de punt fix del coneiximent comú. En principi, el coneiximent comú es considera el punt fix de la «equació» ( $C_{G} φ = [φ \land E_{G} (C_{G} φ)] = E_{G}^{ℵ_{0}} φ$ . D'esta manera, és possible trobar una fòrmula ψ, lo que implica que $E_{G} (φ \land C_{G} φ)$ de la que, en el llímit, podem deduir el coneiximent comú de φ.

A esta caracterisació sintàctica se li dona un contingut semàntic a través de les cridades estructures de Kripke. Una estructura de Kripke ve donada per (i) una série d'estats (o móns possibles) S, (ii) n relaciones de accessibilitat. $R_{1}, \dots, R_{n}$ , definit $S \times S$ representa intuitivamente lo que el subjecte i considera possible de qualsevol estat, i (iii) una funció d'evaluació π assignant un valor real, en cada cas, a cada proposta anterior del llenguage. La semàntica de Kripke per al coneiximent de l'operador ve donada, estipulant que $K_{i} φ$ és cert si afirmem que s iff φ és cert en tots els casos t tal que $(s, t) \in R_{i}$ . Llavors, la semàntica de l'operador de coneiximent comú es dona prenent, per a cada grup de subjectes G, la conclusió reflexiva i transitiva $R_{i}$ , per a tots els subjectes i en G, cridem a esta relació $R_{G}$ i establint que $C_{G} φ$ és cert si afirmem que s iff φ és cert en tots els casos t tal que $(s, t) \in R_{G}$ .

Teoria de conjunts (caracterisació semàntica)

Alternativament ( i de manera equivalent) el coneiximent comú pot formular-se utilisant la teoria de conjunts (est és el camí que va seguir Robert Aumann, laureado en el premi Nobel, en el seu tractat pioner de 1976).Escomencem en un conjunt de subjectes S. A continuació podem definir un cas I com un subconjunt del conjunt de subjectes I. Per a cada subjecte i establirem una divisió en S, P_i. Esta divisió representa l'estat de coneiximent d'un subjecte en un cas concret. En el cas s, el subjecte i sap que en P_i(s) es dona un dels casos, pero no quin.(Ací P_i(s) indica l'únic element de P_i que conté s. Note's que este model exclou aquells casos en els que els subjectes saben coses que no són certes.)

Ara podem definir una funció de coneiximent K de la següent manera:

$K_{i} (e) = {s \in S ∣ P_{i} (s) \subset e}$

Açò és, K_i(i) és el conjunt de casos en els que el subjecte sabrà que es dona eixe cas. És un subconjunt de i.

De manera similar a la formulació de la llògica modal anterior, podem definir un agent per a l'idea de que «tots saben i»

$E (e) = ⋂_{i} K_{i} (e)$

De la mateixa manera que en l'agent modal, repetirem la funció I, $E^{1} (e) = E (e)$ i $E^{n + 1} (e) = E (E^{n} (e))$ .

En açò podem definir una funció per al coneiximent comú,

$C (e) = ⋂_{n = 1}^{\infty} E^{n} (e) .$

L'equivalència en el plantejament sintàctic esbossat abans es pot vore fàcilment: considerem una estructura de Aumann com la que s'acaba de descriure. Podem definir una estructura de Kripke corresponent prenent el mateix espai S, (ii) relacions d'accessibilitat $R_{i}$ que definixca les classes d'equivalència corresponents a les particions $P_{i}$ , i (iii) una funció de valoració tal que done valor real a la proposta anterior p en tots i solament en els casos s tal que $s \in E^{p}$ , a on $E^{p}$ és el cas de l'estructura de Aumann corresponent a la proposta primitiva p.No és difícil entendre que la funció d'accessibilitat al coneiximent comú $R_{G}$ definida en la secció anterior correspon al mínim aument de les divisions $P_{i}$ per a $i \in G$ , açò és, la caracterisació finitaria del coneiximent comú donat també per Aumann en el tractat de 1976.

Aplicacions

David Lewis va utilisar el coneiximent comú en el seu informe pioner sobre la convenció en la teoria de jocs. En este sentit, el coneiximent comú és un concepte que seguix sent clau per als llingüistes i filòsofs de la llengua (vore Clarke 1996) que mantenen un relat convencionalista del llenguage.

Robert Aumann va introduir una formulació teòrica de conjunts del coneiximent comú (teòricament equivalent a l'anterior) i va demostrar la cridada teorema de la concordancia segons el qual, si dos subjectes tenen una provabilitat comuna prèvia sobre un cert cas, i les provabilitats posteriors són coneiximent comú, llavors eixes provabilitats posteriors són iguals. Un resultat basat en la teorema de la concordancia i provat per Milgrom demostra que, donades certes condiciones informació i eficiència de mercat, l'intercanvi especulatiu és impossible.

El concepte de coneiximent comú és fonamental en la teoria del joc. Durant molts anys s'ha cregut que la presunció d'un coneiximent comú de racionalisació dels jugadors en el joc era fonamental. Resulta (Aumann i Brandenburger 1995) que, en jocs de dos jugadors, el coneiximent comú de la racionalitat no és necessari com a condició epistémica per a les estratègies d'equilibri de Nash.

Els informàtics utilisen llenguages que incorporen la llògica epistémica (i el coneiximent comú) per a raonar sobre els sistemes distribuïts. Estos sistemes poden estar basats en una llògica molt més complicada que la simple llògica epistémica, vore Raonament sobre agents artificials, Wooldridge, 2000 (a on utilisa una llògica de primer orde que incorpora operadors epistémicos i temporals) o Van del Hoek et al. Llògica epistémica del temps altern.

En el seu llibre de 2007, The Stuff of Thought: Language as a Window into Human Nature («El món de les paraules»), Steven Pinker utilisa la noció de coneiximent comú per a analisar el tipo de discurs indirecte implicat en les insinuacions.

Vore també

Global game
Mutual knowledge (logic)
Stephen Schiffer
Two Generals' Problem for the impossibility of establishing common knowledge over an unreliable channel

Notes

See the textbooks Reasoning about knowledge by Fagin, Halpern, Moses and Vardi (1995), and Epistemic Logic for computer science by Meyer and van der Hoek (1995).
A structurally identical problem is provided by Herbert Gintis (2000); he calls it "The Women of Sevitan".

Més bibliografia

Aumann, Robert (1976) "Agreeing to Disagree" Annals of Statistics 4(6): 1236–1239.
Aumann Robert and Adam Brandenburger (1995) "Epistemic Conditions for Nash Equilibrium" Econometrica 63(5): 1161–1180.

Clark, Herbert (1996) Using Language, Cambridge University Press ISBN 0-521-56745-9
(2003) Reasoning about Knowledge, Cambridge: MIT Press. ISBN 978-0-262-56200-3..
Lewis, David (1969) Convention: A Philosophical Study Oxford: Blackburn. ISBN 0-631-23257-5
J-J Ch. Meyer and W van der Hoek Epistemic Logic for Computer Science and Artificial Intelligence, volume 41, Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-46014-X
(2005) Epistemic Logic: A Survey Of the Logic Of Knowledge, University of Pittsburgh Press. ISBN 978-0-8229-4246-7.. See Chapter 3.
(2009) Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations, New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89943-7.. See Section 13.4; downloadable free online.
Gintis, Herbert (2000) Game Theory Evolving Princeton University Press. ISBN 0-691-14051-0
Gintis, Herbert (2009) The Bounds of Reason Princeton University Press. ISBN 0-691-14052-9
“Knowledge and Common Knowledge in a Distributed Environment” (1990). Journal of the ACM 37 (3): 549–587. doi:10.1145/79147.79161.

Este artícul conté una traducció derivada de «Conocimiento común» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.