Cohomología de Čech

En matemàtiques, específicament la topología algebraica, la Cohomología de Čech és una teoria de cohomología basada en les propietats de conjunts oberts i recobriment d'espai topològic. Es diu aixina pel matemàtic chec Eduard Čech.

Motivació

Siga X un espai topològic, i siga $𝒰$ un recobriment de X. Definix un complex simplicial $N (𝒰)$ , cridat el nervi del recobriment de la següent manera que:

Hi ha un vèrtiç per a cada element de $𝒰$ .
Hi ha un llímit per a cada parell de $U_{1}, U_{2} \in 𝒰$ de tal manera que $U_{1} \cap U_{2} \neq \emptyset$ .
En general, existix un k-simplex per a cada k+1-subconjunts de l'element ${U_{0}, \dots, U_{k}}$ de $𝒰$ per a que $U_{0} \cap \dots \cap U_{k} \neq \emptyset$ .

Geomètricament el nervi $N (𝒰)$ és essencialment un "complex dual" (en el sentit d'un grafo dual o dualitat de Poincaré) per al recobriment de $𝒰$ .

L'idea de la cohomología de Čech és que, si optem per un recobriment $𝒰$ que és lo suficient chicotet de conjunts oberts conectats, el resultat complex simplicial de $N (𝒰)$ deu ser un bon model d'combinatoria per a l'espai X. Per a tal recobriment, la cohomología Čech de X es definix com la cromología simplicial del nervi.

Esta idea pot ser formalisada per la noció d'un bon recobriment, per lo que tot conjunt obert i cada intersecció finita de conjunts oberts és contràctil. No obstant, un enfocament més general és prendre el llímit directe dels grups de cohomología del nervi sobre el sistema de tots els recobriment de X, ordenats pel refinament. Est és l'enfocament adoptat per davall.

Construcció

Siga X un espai topològic i deixa que $ℱ$ siga un prehaz dels grups abelianos de $X$ . $𝒰$ deixa de ser una recobriment de $X$ .

Simplex

Una q-simplex $σ$ de $𝒰$ és una colecció ordenada de $q + 1$ dels conjunts seleccionats de $𝒰$ , de tal manera que l'intersecció de tots estos conjunts no està buida. Esta intersecció es diu el soport de $σ$ i la seua denotació és $| σ |$ .

Ara anem a $σ = (U_{i})_{i \in {0, \dots, q}}^{q}$ que és un q-simplex. El j-ésimo llímit parcial de $σ$ és dir:

\partial_{j} σ : = (U_{i})_{i \in {0, \dots, q}, i \neq j} .

El llímit de $σ$ es definix com la suma alterna dels llímits parcials:

\partial σ : = \sum_{j = 0}^{q} (- 1)^{j + 1} \partial_{j} σ .

Cocadenas

Una q-cocadena de $𝒰$ en coeficients en $ℱ$ és un mapa que asocía a cada q-simplex &sigma un element de $ℱ (| σ |)$ i denotem el conjunt de totes les q-cocadenas de $𝒰$ en coeficients en $ℱ$ per $C^{q} (𝒰, ℱ)$ . $C^{q} (𝒰, ℱ)$ és un grup abeliano per adició puntual.

Vore també

Cohomología de fas

Referències

Bott, Raoul (1982). Differential Forms in Algebraic Topology, New York: Springer. ISBN 0-387-90613-4.
Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology, Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Per a una major discussió dels espais de Moore, vore el Capítul 2, Eixemple 2.40.
Wells, Raymond (1980). Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0. ISBN 3-540-90419-0. Capítul 2 Apèndix A

Este artícul conté una traducció derivada de «Cohomología de Čech» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.