Clausura reflexiva

Siga $R$ una relació binaria aplicada sobre un conjunt $A$, la clausura reflexiva o tancament reflexiu de $ℛ$, denotada $CR(ℛ)$, és la relació reflexiva més chicoteta aplicada sobre $A$ que conté a $ℛ$.

En atres paraules, $CR(ℛ)$ és la relació binaria que verifica:

1. $ℛ\subseteq CR(ℛ)$
2. $CR(ℛ)$ és reflexiva
3. Si ${ℛ}^{\prime }$ és una relació reflexiva tal que $ℛ\subseteq {ℛ}^{\prime }$, llavors $CR(ℛ)\subseteq {ℛ}^{\prime }$

Note's que si $ℛ$ és reflexiva, llavors $CR(ℛ)=ℛ$.

Cóm calcular-la

Si la relació està donada per la seua matriu booleana associada, la clausura reflexiva s'obté completant en 1 la diagonal principal.

1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1

Esta última seria la matriu associada la clausura reflexiva. A partir d'esta matriu la relació $CR(ℛ)$ es construïx trivialment.

Eixemple

Com a eixemple, si $$X=\{1,2,3,4\}$$ $$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$$ llavors la relació $R$ ya és reflexiva en sí mateixa, per lo que no diferix del seu tancament reflexiu.

No obstant, si algun dels parells en $R$ estiguera absent, s'insertaria per al tancament reflexiu. Per eixemple, si en el mateix conjunt $X$ $$R=\{(1,1),(2,2),(4,4)\}$$ llavors el tancament reflexiu és $$S=R\cup \{(x,x):x\in X\}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}.$$

Vore també

• Clausura simètrica
• Clausura transitiva