Clausura simètrica

Siga $R$ una relació binaria aplicada sobre un conjunt $A$, la clausura simètrica o tancament simètric de $R$, denotada $CS(R)$, és la relació simètrica més chicoteta aplicada sobre $A$ que conté a $R$.

En atres paraules, $CS(R)$ és la relació binaria que verifica:

1. $R\subseteq CS(R)$
2. $CS(R)$ és simètrica
3. Si $R^{\prime }$ és una relació simètrica tal que $R\subseteq R^{\prime }$, llavors $CS(R)\subseteq R^{\prime }$

Note que si $R$ és simètrica, llavors $CS(R)=R$.

Cóm calcular-la

Si tenim una relació binaria $ℛ$ sobre un conjunt de n elements $\{a_1,\dots ,a_n\}$, per a calcular la clausura simètrica convé representar esta relació binaria com una matriu booleana $B_{ℛ}$ definida com:

És dir, si l'element a_i i l'element a_j estan relacionats llavors en la fila i i la columna j de la matriu boleana apareixerà un 1, i si no estan relacionats apareixerà un 0.

Si tenim una relació expressada com matriu booleana, per a obtindre la matriu que representarà a la clausura simètrica es canvien alguns zeros (0) per uns (1), en la matriu de la relació original per a que la matriu final siga simètrica respecte de la diagonal principal.

$\begin{array}{cccccc}\mathrm{𝟏}& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& \mathrm{𝟏}& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& \mathrm{𝟏}& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& \mathrm{𝟏}& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& \mathrm{𝟏}& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0& \mathrm{𝟏}\end{array}$

La regla de canvi és: si $b_{ij}\ne b_{ji}$ llavors devem fer el següent canvi ${\overline{b}}_{ij}:={\overline{b}}_{ji}=\max \{b_{ij},b_{ji}\}$.

Vore també

• Clausura reflexiva
• Clausura transitiva