Categoria menge

En matemàtiques, una categoria menge (sent un cas especial una sobrecategoría (slice category)) és una construcció en teoria de categories. Facilita una forma distinta d'estudiar morfismos: en lloc de simplement relacionar els objectes d'una categoria entre ells, s'estudien com a objectes per sí mateixos. Esta noció va ser introduïda en 1963 per F.W. Lawvere, encara que la tècnica no va anar generalment coneguda fins a molts anys despuix. El nom original (comma category) prové de la notació originalment usada per Lawvere, que utilisava el signe de puntuació menge. Encara que la notació original ha canviat en el temps, el nom persistix.

Definició

La construcció més general d'una categoria menge utilisa dos funtores en el mateix codominio. Normalment, un d'ells tindrà domini 1 (la categoria d'un objecte en un sol morfismo) i en la teoria sol considerar-se solament este cas, pero el terme categoria menge fa referència a la construcció general.

Forma general

Supongam que $𝒜$, $ℬ$, i $𝒞$ són categories, i $S$ i $T$ (en referència a source i target) són funtors de la forma $𝒜\stackrel{S}{⟶}𝒞\stackrel{T}{⟵}ℬ$. Definim llavors la categoria menge, $(S\downarrow T)$, com aquella que té:

• com a objectes, totes les tuplas $(\alpha ,\beta ,f)$, a on $\alpha$ és un objecte de $𝒜$, $\beta$ és un objecte de $ℬ$, i $f:S(\alpha )\to T(\beta )$ és un morfismo de $𝒞$.
• com morfismos de $(\alpha ,\beta ,f)$ a $({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },f^{\prime })$, els parells $(g,h)$ a on $g:\alpha \to {\alpha }^{\prime }$ i $h:\beta \to {\beta }^{\prime }$ són morfismos de $𝒜$ i de $ℬ$ respectivament, tals que el següent diagrama commute:

$\begin{array}{ccc}S(\alpha )& \stackrel{S(g)}{\to }& S({\alpha }^{\prime })\\ f\downarrow & & \downarrow f^{\prime }\\ T(\beta )& \underset{T(h)}{\overset{}{\to }}& T({\beta }^{\prime })\end{array}$

Els morfismos es componen definint $(g,h)\circ (g^{\prime },h^{\prime })$ com $(g\circ g^{\prime },h\circ h^{\prime })$ en aquells casos en els que l'expressió estiga ben definida. El morfismo identitat en un objecte $(\alpha ,\beta ,f)$ serà $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\alpha },{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\beta })$.