BIO-LGCA

En biologia computacional i matemàtica, un autómata celular biològic de gas en ret (BIO-LGCA, per les seues sigles en anglés) és un model discret d'agents biològics mòvils i interactuantes, un subtipo d'autómata celular. Els BIO-LGCAs estan basats en l'autómata celular de gas en ret (LGCA), model utilisat en dinàmica de decorreguts. Un model BIO-LGCA descriu cèlules i atres agents biològics mòvils com a partícules puntuals que es mouen en una ret, interactuant en atres partícules propenques. A diferència dels models d'autómates celulars clàssics, les partícules en BIO-LGCA estan caracterisades per la seua posició i velocitat. Açò permet modelar i analisar el comportament de decorreguts actius i de la migració colectiva produït principalment a través de canvis de moment, més que a través de gradient de densitat. Les aplicacions dels BIO-LGCA inclouen invasió i progressió de càncer.

Definició del model

Com tot model d'autómates celulars, un model BIO-LGCA està definit per una ret $ℒ$, un espai d'estats $ℰ$, un veïnat $𝒩$, i una regla $ℛ$.

• La ret ($ℒ$) definix el conjunt de totes les posicions possibles de les partícules. Les partícules estan restringides a ocupar certes posicions, típicament provinents d'una teselación periòdica i regular de l'espai. Matemàticament, $ℒ\subset {ℝ}^d$ és un subconjunt discret de l'espai $d$-dimensional.
• L'espai d'estats ($ℰ$) descriu els estats possibles de les partícules dins de cada lloc de la ret $𝐫\in ℒ$. En BIO-LGCA, múltiples partícules en diferents velocitats poden ocupar un lloc particular de la ret, a diferència dels models d'autómates celulars clàssics, a on típicament, a lo més una sola partícula pot residir en cada lloc de la ret simultàneament. Açò fa a l'espai d'estats llaugerament més complex que el de models d'autómates celulars clàssics (vore la següent secció).
• El veïnat ($𝒩$) indica el subconjunt de llocs de la ret que determina la dinàmica d'un lloc donat de la ret. Les partícules només interactuen en atres partícules dins del seu veïnat. Les condicions de frontera deuen ser definides per a veïnats de llocs de la ret en la frontera. Els veïnats i condicions de frontera són definides d'igual forma que per a autómates celulars clàssics (vore autómata celular).

• La regla ($ℛ$) dicta el moviment, proliferació, o mort de partícules en el temps. De la mateixa manera que tot autómata celular, els BIO-LGCA evolucionen en passos de temps discrets. Per a simular la dinàmica de sistema, la regla és aplicada a cada lloc de la ret simultàneament en cada pas de temps. L'aplicació de la regla canvia l'estat original d'un lloc de la ret a un nou estat. La regla depén dels estats dels llocs en el veïnat d'interacció del lloc que s'actualisarà. En BIO-LGCA, la regla està dividida en dos passos: un pas d'interacció provabilista seguit d'un pas de transport determinista. El pas d'interacció simula reorientació, processos de naiximent, i de mort, i està definit específicament per al procés modelat. El pas de transport mou partícules a llocs veïns de la ret en la direcció de les seues velocitats. Vore avall per a més detalls.

Espai d'estats

La subestructura d'un lloc de la ret en BIO-LGCA en sis canals de velocitat (corresponents a una ret hexagonal bidimensional) i un sol canal de descans. En este cas $b=6$, $a=1$, i la capacitat de càrrega és $K=7$. Els canals 2, 3, 6 i 7 estan ocupats, per lo que la configuració del lloc és $𝐬=(0,1,1,0,0,1,1)$, i el número de partícules és $n\left(𝐬\right)=\sum _{i=1}^K{s}_i=4$.

Per a modelar les velocitats de les partícules explícitament, es presupon que els llocs de la ret tenen una subestructura específica. Cada lloc de la ret $𝐫\in ℒ$ està conectat als seus veïns a través de vectores cridats "canals de velocitat", ${𝐜}_i$, $i\in \{1,2,\dots ,b\}$, a on el número de canals de velocitat $b$ és igual al número de veïns més propencs, i per lo tant depén de la geometria de la ret ($b=2$ per a un enreixat unidimensional,$b=6$ per a un enreixat hexagonal bidimensional, etcétera). En dos dimensions, els canals de velocitat estan definits com ${𝐜}_i=(\cos \frac{2\pi i}{b},\sin \frac{2\pi i}{b})$. Ademés, es pot definir un número arbitrari $a$ de canals cridats "de descans", tals que ${𝐜}_i=(0,0)$, $i\in \{b+1,b+2,\dots ,b+a\}$. Es diu que un canal està ocupat si hi ha una partícula en el lloc de la ret en una velocitat igual al canal de velocitat. L'ocupació del canal ${𝐜}_i$ és indicada pel número d'ocupació $s_i$. Típicament, es presupon que les partícules obedixen un principi d'exclusió, tal que a lo més una partícula pot ocupar un canal de velocitat en un lloc de la ret simultàneament. En este cas, els números d'ocupació són variables Booleanas, i.i. $s_i\in 𝒮=\{0,1\}$, per lo que cada lloc té una capacitat de càrrega màxima $K=a+b$. Ya que el conjunt de tots números d'ocupació de tots els canals definixen el número de partícules i les seues velocitats en cada lloc de la ret, el vector $𝐬=(s_1,s_2,\dots ,s_K)$descriu l'estat d'un lloc de la ret, i l'espai d'estats està donat per $ℰ={𝒮}^K$.

Regla i dinàmica del model

Els estats de cada lloc en la ret s'actualisen simultàneament en passos de temps discrets per a simular la dinàmica del model. La regla està dividida en dos passos. El pas d'interacció provabilista simula interaccions entre partícules, mentres que el pas de transport determinista simula el moviment de partícules.

Pas d'interacció

Segons l'aplicació concreta, el pas d'interacció pot estar compost d'operadors de reacció i/o reorientació.

L'operador de reacció $𝒜$ reemplaça l'estat $𝐬$ d'un lloc en un nou estat ${𝐬}^{𝒜}$ d'acort a una provabilitat de transició $P\left(𝐬\to {𝐬}^{𝒜}|{𝐬}_{𝒩}\right)$, la qual depén de l'estat de llocs veïns de la ret ${𝐬}_{𝒩}$, per a simular l'influència de partícules propenques en el procés reactiu. L'operador de reacció no conserva el número de partícules, permetent simular naiximent i mort dels individus. La provabilitat de transició de l'operador de reacció és definida normalment ad hoc a partir d'observacions fenomenológicas.

L'operador de reorientació $𝒪$ també reemplaça un estat $𝐬$ en un estat nou ${𝐬}^{𝒪}$ en provabilitat $P\left(𝐬\to {𝐬}^{𝒪}|{𝐬}_{𝒩}\right)$. No obstant, este operador conserva el número de partícules i, per lo tant, només modela canvis en la velocitat de les partícules redistribuint-les entre els canals de velocitat. La provabilitat de transició d'este operador pot ser determinada a partir d'observacions estadístiques (utilisant el principi de calibre màxim) o de dinàmiques individuals conegudes (utilisant la distribució de provabilitat angular estacionaria discretizada donada pel l'equació de Fokker-Planck associada a una equació de Langevin que descriga la dinàmica de reorientació), i típicament pren la forma $$P\left(𝐬\to {𝐬}^{𝒪}|{𝐬}_{𝒩}\right)=\frac{1}{Z}{e}^{-\beta H\left({𝐬}_{𝒩}\right)}{\delta }_{n\left(𝐬\right),n\left({𝐬}^{𝒪}\right)}$$a on $Z$ és una constant de normalisació (també coneguda com la funció de partició), $H\left({𝐬}_{𝒩}\right)$ és una funció anàloga a una energia, la qual serà minimisada en alta provabilitat per les partícules en canviar la seua direcció de moviment, $\beta$ és un paràmetro lliure inversamente proporcional a la aleatoreidad de les partícules al reorientarse (anàlec a l'invers de la temperatura en termodinàmica), i ${\delta }_{n\left(𝐬\right),n\left({𝐬}^{𝒪}\right)}$ és una delta de Kronecker que assegura que el número de partícules $n\left(𝐬\right)$ abans i despuix de la reorientació $n\left({𝐬}^{𝒪}\right)$ no canvien.

A l'estat despuix d'aplicar els operadors de reacció i reorientació ${𝐬}^{𝒪\circ 𝒜}$ es denomina com la configuració post-interacció i es denota per ${𝐬}^{ℐ}:={𝐬}^{𝒪\circ 𝒜}$.

Dinàmica del model BIO-LGCA. Cada pas de temps, es canvien simultàneament els números d'ocupació de forma estocàstica a través dels operadors de reacció i/o reorientació en tots els llocs de la ret durant el pas d'interacció. Posteriorment, les partícules són mogudes de forma determinista al mateix canal de velocitat d'un lloc veí en la direcció del seu canal de velocitat, durant el pas de transport. Els colors en el diagrama permeten seguir la dinàmica de les partícules en llocs individuals. Este diagrama presupon una regla que conserva partícules (sense operador de reacció).

Pas de transport

Despuix del pas d'interacció, el pas de transport determinista s'aplica simultàneament a tots llocs de la ret. El pas de transport simula el moviment d'agents d'acort a la seua velocitat, per l'autopropulsión d'organismes vivents.

Durant este pas, els números d'ocupació dels estats post-interacció seran definits com els nous estats d'ocupació del mateix canal en el lloc veí en la direcció del canal de velocitat, i.i. $s_i(𝐫+{𝐜}_i)=s_i^{ℐ}(𝐫)$.

Un nou pas de temps comença quan han ocorregut abdós passos d'interacció i de transport. Per lo tant, la dinàmica de el BIO-LGCA pot ser resumida en l'equació en diferències finitas estocàstica microdinámica $$s_i(𝐫+{𝐜}_i,k+1)=s_i^{ℐ}(𝐫,k)$$

Eixemples de dinàmiques d'interacció

Archiu:PalignLGCA.webm La provabilitat de transició dels operadors de reacció i/o reorientació deuen ser definides de tal forma que simulen el sistema a modelar apropiadament. Algunes interaccions elementals i les seues provabilitats de transició corresponents estan llistades davall.

Caminada aleatòria

En l'absència de tot estímul extern o intern, les cèlules poden moure's aleatoriamente sense preferència direccional. En este cas, l'operador de reorientació pot ser definit a través d'una provabilitat de transició$$P\left(𝐬\to {𝐬}^{𝒪}|{𝐬}_{𝒩}\right)=\frac{{\delta }_{n(𝐬),n\left({𝐬}^{𝒪}\right)}}{Z}$$ Archiu:BIOLGCAbarkley.webm a on $Z=\sum _{{𝐬}^{𝒪}}{\delta }_{n\left(𝐬\right),n\left({𝐬}^{𝒪}\right)}$. Esta provabilitat de transició només permet configuracions post-interacció ${𝐬}^{𝒪}$en el mateix número de partícules que la configuració pre-interacció $𝐬$, elegides uniformemente.

Procés senzill de mort i naiximent

Si els organismes es reproduïxen i moren independentment d'atres individus (en la possible excepció del requeriment d'una capacitat de càrrega finita), llavors un procés senzill de naiximent i mort pot ser simulat en una provabilitat de transició donada per$$P\left(𝐬\to {𝐬}^{𝒜}|{𝐬}_{𝒩}\right)=[r_b{\delta }_{n\left({𝐬}^{𝒜}\right),n\left(𝐬\right)+1}+r_d{\delta }_{n\left({𝐬}^{𝒜}\right),n\left(𝐬\right)-1}]\Theta \left[n\left({𝐬}^{𝒜}\right)\right]\Theta \left[n(K-{𝐬}^{𝒜})\right]$$a on , $r_b,r_d\in [0,1]$, $r_b+r_d\le 1$ són les provabilitats constants de naiximent i mort, respectivament, ${\delta }_{i,j}$ és la delta de Kronecker que permet un sol event de mort o naiximent cada pas de temps, i és $\Theta (x)$ és la funció de Heaviside, la qual garantisa que el número de partícules siga positiu i acotat per la capacitat de càrrega $K$. Archiu:AdhLGCA.webm

Interaccions adhesives

Les cèlules poden adherir-se una a una atra a través de molècules de cadherina en la superfície celular. Les interaccions mediades per cadherina provoquen la formació d'agregats celulars. La formació d'agregats celulars per mig de biomoléculas adhesives pot ser modeleda per un operador de reorientació en provabilitats de transició definides com$$P\left(𝐬\to {𝐬}^{𝒪}|{𝐬}_{𝒩}\right)=\frac{1}{Z}\exp [\beta 𝐆\left({𝐬}_{𝒩}\right)\cdot 𝐉\left({𝐬}^{𝒪}\right)]$$ Archiu:ChemoLGCA.webm a on $𝐆\left({𝐬}_{𝒩}\right)$ és un vector que apunta en la direcció de la densitat celular màxima, definida com $𝐆\left({𝐬}_{𝒩}\right)=\sum _{{𝐫}^{\prime }\in 𝒩}({𝐫}^{\prime }-𝐫)n\left({𝐬}_{𝒩}^{{𝐫}^{\prime }}\right)$, a on ${𝐬}_{𝒩}^{{𝐫}^{\prime }}$ és la configuració del lloc de la ret ${𝐫}^{\prime }$ dins del veïnat $𝒩$, i $𝐉\left({𝐬}^{𝒪}\right)$ és el moment llineal de la configuració post-reorientació, definit com $𝐉\left({𝐬}^{𝒪}\right)=\sum _{j=1}^b{s}_j^{𝒪}{𝐜}_j$ . Esta provabilitat de transició favorix les configuracions post-reorientació en cèlules movent-se en direcció del gradient de densitat celular.