Aritmètica no estàndar

En llògica matemàtica, un model no estàndar de l'aritmètica és un modele per a l'aritmètica de Peano (de primer orde) que conté números no estàndar. El model estàndar de l'aritmètica és el compost pels número natural {0, 1, 2, ...}, una successió infinita i numerable ordenada linealment. Un model no estàndar conté elements adicionals anara d'esta successió. L'existència de models no estàndar per a l'aritmètica va ser demostrat per Thoralf Skolem en 1934.

Existència

Teorema de compacidad

El teorema de compacidad establix que una teoria axiomàtica posseïx un model si i només si cada subcolección finita dels seus axioma posseïx un model a la seua volta. Partint de l'aritmètica de Peano (o una teoria que la continga), pot afegir-se llavors una nova constant μ i una série infinita de axioma donada per:

$\text{Nat}\mu \text{ , }\mu \ne \mathrm{𝟎}\text{ , }\mu \ne \mathrm{𝟏}\text{ , }\mu \ne \mathrm{𝟐}\text{ , }\dots \text{ , }$

a on Nat μ és la fòrmula que afirma que μ és un número natural. El model en el que μ s'interpreta com n + 1 satisfà tots els axioma de la série fins a μ ≠ n, i açò basta per a demostrar que tot subconjunt finito d'estos axioma té un model (suponent que l'aritmètica de Peano és consistent).

Per lo tant, per la teorema de compacidad, dita teoria aritmètica modificada posseïx un model i és consistent, i este model és també un model de l'aritmètica de Peano; en el qual no obstant existix un element distint de 0, d'1, de 2, etc.

Teorema de incompletitud

També per mig del teorema de incompletitud pot demostrar-se l'existència de models no estàndar. La teorema de incompletitud afirma que existix una sentència G que no pot ser provada ni refutada en l'aritmètica de Peano. Pel teorema de completitud semàntica, existix algun model en el qual G és falsa. No obstant, en el model estàndar de l'aritmètica G és verdadera, després qualsevol model en el que siga falsa ha de ser no estàndar.

Estructura

Pot demostrar-se que en qualsevol model no estàndar numerable, l'estructura del orde dels números és sempre la mateixa: una successió infinita inicial -assimilable als números estàndar- seguida d'un conjunt de cadenes de números no estàndar, cada una d'elles sense mínim ni màxim, a on el conjunt d'estes cadenes a la seua volta no té cotes inferior ni superior i és dens. En atres paraules:

L'orde d'un model no estàndar de l'aritmètica és isomorfo a el de ω + ζ·η, a on ω és el primer ordinal infinit, ζ representa l'orde dels número entero i η el dels número racional.

No obstant, en el cas de les operacions de suma i multiplicació no existix una representació senzilla. Pot provar-se que en cap model numerable no estàndar de l'aritmètica dites operacions són computables.

Referències

• Boolos, George; Burgess, {{{nom2}}}; Jeffrey, {{{nom3}}} (2002). Computability and Logic, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0.
• .