Argument de indispensabilidad de Quine-Putnam

El argument de indispensabilidad de Quine-Putnam és un argument de la filosofia de les matemàtiques a favor de l'existència d'objectes matemàtics abstractes com els números i els conjunts, una postura coneguda com platonisme matemàtic. Deu el seu nom als filòsofs Willard Van Orman Quine i Hilary Putnam, i és un dels arguments més importants de la filosofia de les matemàtiques.

Encara que elements de l'argument de la indispensabilidad poden tindre el seu orige en pensadors com Gottlob Frege i Kurt Gödel, el desenroll de l'argument per part de Quine va ser únic per introduir en ell vàries de les seues posicions filosòfiques, com el naturalisme, el holismo confirmacional i el criteri del compromís ontològic. Putnam va donar a l'argument de Quine la seua primera formulació detallada en el seu llibre de 1971 Philosophy of Logic. No obstant, més vesprada va aplegar a discrepar de varis aspectes del pensament de Quine i va formular el seu propi argument de la indispensabilidad basant-se en l'argument dels no milacres de la filosofia de la ciència. Una forma estàndar de l'argument en la filosofia contemporànea s'atribuïx a Mark Colyvan; encara que està influït tant per Quine com per Putnam, diferix en aspectes importants de les seues formulació. Es presenta en l'Enciclopèdia de Filosofia de Stanford:

• Deuríem tindre un compromís ontològic en totes i només en les entitats indispensables per a les nostres millors teories científiques.
• Les entitats matemàtiques són indispensables per a les nostres millors teories científiques.
• Per lo tant, devem tindre un compromís ontològic en les entitats matemàtiques.

Els nominalistas, filòsofs que rebugen l'existència d'objectes abstractes, han argumentat en contra d'abdós premisses d'este argument. Un influent argument d'Hartry Field afirma que les entitats matemàtiques són prescindibles per a la ciència. Este argument s'ha recolzat en intents de demostrar que les teories científiques i matemàtiques poden reformular-se per a eliminar totes les referències a entitats matemàtiques. Atres filòsofs, com Penelope Maddy, Elliott Sober i Joseph Melia, han argumentat que no necessitem creure en totes les entitats que són indispensables per a la ciència. Els arguments d'estos autors varen inspirar una nova versió explicativa de l'argument, que Alan Baker i Mark Colyvan recolzen, segons la qual les matemàtiques són indispensables per a explicacions científiques específiques, aixina com per a teories completes.

Antecedents

En el seu artícul de 1973 «Mathematical Truth», Paul Benacerraf va plantejar un problema per a la filosofia de les matemàtiques. Segons Benacerraf, oracions matemàtiques com «dos és un número primo» impliquen l'existència d'objectes matemàtics. Va recolzar esta afirmació en l'idea de que les matemàtiques no deurien tindre la seua pròpia semàntica especial o, en atres paraules, el significat de les oracions matemàtiques deuria seguir les mateixes regles que les oracions no matemàtiques. Per eixemple, segons este raonament, si la frase «Mart és un planeta» implica l'existència del planeta Mart, llavors la frase «dos és un número primo» també deuria implicar l'existència del número dos. Pero segons Benacerraf, si els objectes matemàtics existiren, serien incognoscibles. Açò es deu a que els objectes matemàtics, si existixen, són objectes abstractes: objectes que no poden causar coses i que no tenen ubicació en l'espai i el temps. Benacerraf va argumentar, basant-se en la teoria causal del coneiximent, que seria impossible saber sobre tals objectes perque no poden entrar en contacte causal en nosatres Açò es diu el problema epistemològic de Benacerraf perque concernix a l'epistemologia de les matemàtiques, és dir, cóm apleguem a saber lo que sabem sobre les matemàtiques.

La filosofia de les matemàtiques es dividix en dos corrents principals: el platonisme i el nominalisme. El platonisme sosté que existixen objectes matemàtics abstractes, com els números i els conjunts, mentres que el nominalisme nega la seua existència. Cada u d'estos punts de vista s'enfronta a problemes deguts al problema plantejat per Benacerraf. Ya que el nominalisme rebuja l'existència d'objectes matemàtics, no s'enfronta a cap problema epistemològic, pero sí a problemes relacionats en l'idea de que les matemàtiques no deurien tindre la seua pròpia semàntica especial. El platonisme no s'enfronta a problemes relatius a la mitat semàntica del dilema, pero té dificultats per a explicar cóm podem tindre algun coneiximent sobre els objectes matemàtics.

L'argument de la indispensabilidad pretén superar el problema epistemològic plantejat contra el platonisme proporcionant una justificació de la creència en objectes matemàtics abstractes. Forma part d'una àmplia classe d'arguments de indispensabilidad que s'apliquen més comunament en la filosofia de les matemàtiques, pero que també inclou arguments en la filosofia del llenguage i l'ètica. En el sentit més general, els arguments de indispensabilidad pretenen recolzar la seua conclusió basant-se en l'afirmació de que la veritat de la conclusió és indispensable o necessària per a un determinat propòsit. Quan s'apliquen en el camp de l'ontologia -l'estudi de lo que existix- ejemplifican una estratègia quineana per a establir l'existència d'entitats controvertides que no poden investigar-se directament. Segons esta estratègia, la indispensabilidad d'estes entitats per a formular una teoria d'atres entitats menys controvertides conte com a prova de la seua existència. En el cas de la filosofia de les matemàtiques, la indispensabilidad de les entitats matemàtiques per a formular teories científiques es pren com a prova de l'existència d'eixes entitats matemàtiques.

Resum de l'argument

Mark Colyvan presenta l'argument en la Stanford Encyclopedia of Philosophy de la següent forma:

• Deuríem tindre un compromís ontològic en totes i només en les entitats indispensables per a les nostres millors teories científiques.
• Les entitats matemàtiques són indispensables per a les nostres millors teories científiques.
• Per lo tant, devem tindre un compromís ontològic en les entitats matemàtiques.

Ací, un compromís ontològic en una entitat és un compromís en la creència de que eixa entitat existix. La primera premissa es basa en dos supòsits fonamentals: el naturalisme i el holismo confirmacional. Segons el naturalisme, devem recórrer a les nostres millors teories científiques per a determinar qué és lo que tenim més raons per a creure que existix. Quine va resumir el naturalisme com «el reconeiximent de que és dins de la ciència mateixa, i no en alguna filosofia prèvia, a on la realitat deu ser identificada i descrita». El holismo confirmacional és l'opinió de que les teories científiques no poden ser confirmades aisladamente i deuen ser confirmades com a conjunts. Per lo tant, d'acort en el holismo confirmacional, si devem creure en la ciència, llavors devem creure en tota la ciència, incloent qualsevol de les matemàtiques que són assumides per les nostres millors teories científiques. L'argument es dirigix principalment als nominalistas que són realistes científics, ya que intenta justificar la creència en entitats matemàtiques d'una manera similar a la justificació de la creència en entitats teòriques com electrons o quarks; Quine va sostindre que tals nominalistas tenen un «doble estàndart» sobre l'ontologia.

L'argument de la indispensabilidad diferix d'atres arguments a favor del platonisme perque només defén la creència en les parts de les matemàtiques que són indispensables per a la ciència. No justifica necessàriament la creència en les parts més abstractes de la teoria de conjunts, que Quine va denominar «recreació matemàtica … sense drets ontològics». Alguns filòsofs deduïxen de l'argument que el coneiximent matemàtic és a posteriori perque implica que les veritats matemàtiques només poden establir-se per mig de la confirmació empírica de les teories científiques per a les que són indispensables. Açò també indica que les veritats matemàtiques són contingents, ya que les veritats empíricamente conegudes són generalment contingents. Tal posició és controvertida perque contradiu la visió tradicional del coneiximent matemàtic com a coneiximent a priori de veritats necessàries.

Mentres que l'argument original de Quine és un argument a favor del platonisme, els arguments de indispensabilidad també poden construir-se per a argumentar a favor de l'afirmació més dèbil del realisme oracional: l'afirmació de que la teoria matemàtica és objectivament verdadera. Es tracta d'una afirmació més dèbil perque no implica necessàriament que existixquen objectes matemàtics abstractes.