Anàlisis modal utilisant FEM

L'objectiu del anàlisis modal en la mecànica estructural és determinar les freqüències naturals i modos de vibrar d'un objecte o estructura durant vibració lliure. És comú utilisar el Método dels Elements Finitos (MEF, o FEM per les seues sigles en anglés) per a desenrollar l'anàlisis perque, com en atres càlculs usant el MEF, l'objecte que s'analisa pot tindre formes arbitràries i els resultats dels càlculs són acceptables. Els tipos d'equacions que sorgixen de l'anàlisis modal són vistes en Sistemes propis. L'interpretació física dels valors propis i vectores propis, els quals vénen de resoldre el sistema, representen les freqüències i modos de vibrar corresponents. A voltes, els únics modos desijats són els corresponents a les menors freqüències perque poden ser els modos predominants en la vibració de l'objecte.

També és possible determinar les freqüències naturals i modos de vibrar d'un objecte per mig d'ensajos experimentals. En este cas, el procediment es denomina anàlisis modal experimental. Els resultats de les proves experimentals poden usar-se per a calibrar un model d'elements finitos per a determinar si les hipòtesis subjacents fetes varen ser correctes (Per eixemple, propietats correctes de materials i condicions de vora considerades en el model).

Sistemes propis FEA

Per als problemes més bàsics envolent un material linealment elàstic el qual obedix la Llei d'elasticitat de Hooke, les equacions de matriu prenent la forma d'un sistema de masses de resort tridimensional dinàmic. L'equació generalisada de moviment és donada com:

A on:

$[𝐌]$ és la matriu de massa,

$\ddot{𝐮}$ és la 2a derivada de temps del desplaçament (la seua acceleració, que tan ràpit canvia la teua velocitat, respecte al temps),

$𝐮$ és el desplaçament (o posició),

$\dot{𝐮}$ és la velocitat (derivada de la posició respecte al temps, quin tan ràpit de desplaces),

$[𝐂]$ és la matriu de amortiguación,

$[𝐊]$ és la matriu de rigidea, i

$𝐅$ és el vector força.

El problema general, en la amortiguación diferent de zero, és un problema de valor propi cuadratico. No obstant, per a anàlisis modal vibracional, la amortiguación és generalment ignorada, deixant solament el primer i tercer térmens en el costat esquerre:

Esta és la forma general dels sistemes propis trobats en ingenieria estructural usant el Método dels elements finitos. Adicionalment, el moviment harmònic és típicament assumit per a l'estructura que si $[\ddot{U}]$ és presa a ser igual $\lambda [U]$, a on $\lambda$ és un valor propi (en unitats de quadrat de temps reciproco, i.g., ${\mathrm{s}}^{-2}$), i l'equació es reduïx a:

en contrast, l'equació per al problema estàtic és:

La qual és esperada quan tots els térmens tenint un temps derivativo són fixats a zero.

Comparació a l'àlgebra llineal

En Àlgebra llineal, és més comuna vore la forma estàndar d'un sistema propi el qual és expressat com:

Abdós equacions poden ser vistes com la mateixa perque si l'equació general és multiplicada per l'invers de la massa, $[𝐌{]}^{-1}$, prenguera la forma d'este últim. Deuria notar-se que els modos inferiors són desijats, resolent el sistema més provablement envoldria l'equivalent de multiplicant per l'invers de la rigidea, $[𝐊{]}^{-1}$, un procés cridat iteración inversa. Quan açò és fet, els valors propis resultants, $\mu$, relacionen a aquell de l'original per:

pero els vectores propis són els mateixos.

Métodos de solució

Per a problemes elàstics llineals les matrius de rigidea i massa i el sistema en general són definides positives. Eixa propietat permet aplicar alguns algoritmes numèrics comunament aplicats són usats per a trobar una solució. Quan totes les qualitats del sistema són considerades:

1. Solament els chicotets valors propis i vectores propis dels baixos modos són desijats.
2. Les matrius de massa i rigidea són disperses i altament bandeadas.
3. La matriu del sistema és definida definitiva.

una descripció típica de la solució és primer per a tridiagonalizar el sistema usant l'algoritme de Lanczos. Despuix, usa l'algoritme QR per a trobar els vectores propis i valors propis d'este primer sistema tridiagonal. Si la iteración inversa és usada, els nous valors propis seran relacionats en els vells per $\mu =\frac{1}{\lambda }$, mentres els vectores propis de l'original poden ser calculats d'aquells de les matrius tridiagonalisades per:

a on $[r^n]$ és un vector Ritz aproximadament igual al vector propi del sistema original, $[Q]$ és la matriu de vectores Lanczos, i $[v^n]$ és el $n^{th}$ vector propi de la matriu tridiagonal.

Vore també

• Método dels elements finitos
• Método dels elements finitos en la mecànica estructural
• anàlisis modal
• Vector propi i valor propi
• Modo normal