Wronskiano

En matemàtica, el wronskiano és un determinant introduït en 1812 pel polac Wrońsky (1776-1853) i nomenat en 1882 pel matemàtic escocés Thomas Muir (1844 – 1934). S'utilisa en l'estudi de les equacions diferencials ordinàries, a on a voltes pot ser utilisat per a mostrar que un conjunt de solucions és linealmente independent.

Representació geomètrica del Wronskiano

Donat un conjunt de $n$ funcions que són ($n-1$)-voltes derivables, $f_1,f_2,\mathrm{...},f_n$, el wronskiano $W(f_1,f_2,\mathrm{...},f_n)$està donat per:

El wronskiano és el determinant de la matriu construïda en colocar les funcions en el primer rengló (o fila), la primera derivada de cada funció en el segon rengló, i aixina fins a la derivada n-1, formant aixina una matriu quadrada, algunes voltes anomenada matriu fonamental.

En una equació diferencial llineal de segon orde, el wronskiano pot ser calculat per computadora més fàcilment per l'identitat d'Abel.

El wronskiano i dependència llineal (DAMA)

Les funcions $X_1,\mathrm{...},X_n:[a,b]\to ℝ$ són linealmente independents si

${\alpha }_1{X}_1(t)+\mathrm{...}+{\alpha }_n{X}_n(t)=0$ para tot $t\in [a,b]$$\to {\alpha }_1=\mathrm{...}={\alpha }_n=0$.

Note's que si existix algun $t\in [a,b]$ tal que els vectores $X_1(t),\mathrm{...},X_n(t)$ són linealmente independents, les funcions $X_1,\mathrm{...},X_n:[a,b]\to ℝ$ també ho seran. ya que els vectores $X_1(t),\mathrm{...},X_n(t)$ són linealmente independents si i solament si $W[X_1(t),\mathrm{...},X_n](t)\ne 0$, si hi ha algun $t\in [a,b]$ per al que el wronskiano no s'anule, tindrem que les funciones $X_1,\mathrm{...},X_n:[a,b]\to ℝ$ són linealmente independents.

No obstant, encara que els vectores $X_1(t),\mathrm{...},X_n(t)$ siguen linealmente depenents per a cada $t\in [a,b]$, les funcions $X_1,\mathrm{...},X_n:[a,b]\to ℝ$ podrien ser linealmente independents, com es veu en el següent eixemple.

Eixemple

Les funcions $C^1([-1,1];ℝ)$ donades per: $X_1(t)=\left(\begin{array}{c}{t}^3\\ 3t^2\end{array}\right),X_2(t)=\{\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{c}-t^3\\ -3t^2\end{array}\right),& t\in [-1,0],\\ \left(\begin{array}{c}{t}^3\\ 3t^2\end{array}\right),& t\in (0,1],\end{array}$

són evidentment linealmente independents. No obstant, és immediat comprovar que $W[X_1,X_2](t)=0$ para tot $t\in [-1,1]$.

Este eixemple mostra que el fet de que el Wronskiano d'un conjunt de $n$ funcions s'anule en un punt d'un interval, o inclús en tots els punts de l'interval, no implica que les funcions siguen linealmente depenents en l'interval. No obstant, sí ho implica si les funcions són solució d'un sistema llineal homogéneu de dimensió $n$ d'equacions diferencials d'orde 1, com veem a continuació.

Teorema

Sean $X_1,\mathrm{...},X_n\in C^1([a,b];{ℝ}^n)$ solucions del sistema llineal homogéneu de dimensió $n$ en coeficients continus $X^{\prime }=A(t)X$. Si hi ha algun $t\in [a,b]$ tal que els vectores $X_1(t),\mathrm{...},X_n(t)$ són linealmente dependents, llavors les solucions $X_1,\mathrm{...},X_n$ són linealmente dependents.

El resultat és conseqüència del Teorema de Picard-Lindelöf

Corolari

Sean $X_1,\mathrm{...},X_n:C^1([a,b]\to {ℝ}^n)$ solucions del sistema llineal homogéneu de dimenxión $n$ en coeficients continus $X^{\prime }=A(t)X$. Llavors:

1. O be $W[X_1(t),\mathrm{...},X_n](t)\ne 0$ para tot $t\in [a,b]$, o be $W[X_1(t),\mathrm{...},X_n](t)=0$ para tot $t\in [a,b]$.
2. $X_1,\mathrm{...},X_n$ són linealmente independents si i solament si $W[X_1,\mathrm{...},X_n](t)\ne 0$ para tot $t\in [a,b]$.

Aplicació del corolari en alguns eixemples

• Considere's les funcions $X_1(t)=t^2,$$X_2(t)=t,$ i $X_3(t)=1,$ definides per a un número real t. Obtinga's el wronskiano:

$W=\left|\begin{array}{ccc}{t}^2& t& 1\\ 2t& 1& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right|=-2.$

Es veu que $W$ no és idénticamente $0$, aixina que estes funcions deuen ser linealmente independents.

• Sean $X_1(t)=2t^2+3$, $X_2(t)=t^2$, i $X_3(t)=1$ solucions d'un sistema llineal homogéneu. Estes funcions són clarament depenents, ya que $2t^2+3=2(t^2)+3(1)$. Aixina, el wronskiano deu ser zero, seguint un chicotet càlcul:

$W=\left|\begin{array}{ccc}2t^2+3& t^2& 1\\ 4t& 2t& 0\\ 4& 2& 0\end{array}\right|=8t-8t=0.$

Com tota equació diferencial llineal d'orde $n$ es pot escriure en forma de sistema d'orde 1 i tamany $n$, podem amprar esta teorema per a determinar la dependència llineal d'un conjunt de solucions de dita equació. Per eixemple, si volem verificar si dos solucions d'una equació diferencial llineal de segon orde són independents, es pot usar el wronskiano

Wronskiano d'un sistema d'equacions diferencials llineals general d'orde n

Siga el sistema:

$\{\begin{array}{cc}x{\text{'}}_1(t)=& f_1(t,x_1,x_2,\mathrm{...},x_n),\\ x{\text{'}}_2(t)=& f_2(t,x_1,x_2,\mathrm{...},x_n),\\ ⋮\\ x{\text{'}}_n(t)=& f_n(t,x_1,x_2,\mathrm{...},x_n),\end{array}$

per al qual es tenen solucions: $\overrightarrow{z_1}=(z_{11},z_{21},\mathrm{...},z_{n1}),\overrightarrow{z_2}=(z_{12},z_{22},\mathrm{...},z_{n2}),\mathrm{...},\overrightarrow{z_n}=(z_{1n},z_{2n},\mathrm{...},z_{nn})$.

Es definix el Wronskiano del sistema com: $W(\overrightarrow{z_1},\overrightarrow{z_2},\mathrm{...},\overrightarrow{z_n})=\left|\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \dots & z_{1n}\\ z_{21}& z_{22}& \dots & z_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& z_{n2}& \dots & z_{nn}\end{array}\right|.$

Sean $x_1,x_2,\dots ,x_n$ solucions de la següent equació d'orde $n$:

$x^{(n)}(t)=a_0(t)+a_1(t)x(t)+a_2(t)x^{\prime }(t)+\dots +a_{n-1}(t)x^{(n-1)}(t)$.

Esta equació és equivalent a un sistema de $n$ equacions d'orde 1. Cada solució de l'equació genera un vector que és solució del sistema. Si definim: $y_1=x,y_2=x^{\prime },\dots ,y_n=x^{(n-1)}$, s'obté el sistema:

$\{\begin{array}{cc}{y_1}^{\prime }=& y_2,\\ {y_2}^{\prime }=& y_3,\\ ⋮& ⋮\\ {y_n}^{\prime }=& a_0(t)+a_1(t)y_1+\dots +a_{n-1}(t)y_n.\end{array}$

Reescrit en forma matricial: $\overrightarrow{Y^{\prime }}=A\overrightarrow{Y}+B$ en:

$\overrightarrow{Y^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}y{\text{'}}_1\\ y{\text{'}}_2\\ ⋮\\ y{\text{'}}_{n-1}\\ y{\text{'}}_n\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ a_1& a_2& a_3& \dots & a_n\end{array}\right),\overrightarrow{Y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_{n-1}\\ y_n\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ a_0\end{array}\right)$.

Recíprocament si $\overrightarrow{Z}=(z_1,z_2,\mathrm{...},z_n)$ és una solució del sistema, es complix que:

$\{\begin{array}{c}{z}_2=z{\text{'}}_1,\\ z_3=z{\text{'}}_2=z^{\prime }{\text{'}}_1,\\ ⋮\\ z_n=z{\text{'}}_{n-1}=\dots =z_1^{(n-1)}.\end{array}$

D'esta manera, es tindria $z_1^n=z{\text{'}}_n=a_0(t)+a_1(t)z(t)+a_2(t)z^{\prime }(t)+\dots +a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)$. Per lo tant, si el vector $\overrightarrow{Z}=\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z{\text{'}}_1\\ ⋮\\ z_1^{(n-1)}\end{array}\right),$ resol el sistema, $z_1$ resol l'equació.

Vejam que el wronskiano de $n$ solucions de l'equació coincidix en el wronskiano dels corresponents $n$ vectores solució del sistema equivalent.

Per a la formulació del problema com a equació el wronskiano queda, per definició: $W(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\\ x{\text{'}}_1& x{\text{'}}_2& \dots & x{\text{'}}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{(n-1)}& x_2^{(n-1)}& \dots & x_n^{(n-1)}\end{array}\right|$. Per a la formulació com a sistema, el wronskiano, agrupant els vectores solució en una matriu de tamany $n\times n$, com: $W(\overrightarrow{X_1},\overrightarrow{X_2},\dots ,\overrightarrow{X_n})=\left|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\\ x{\text{'}}_1& x{\text{'}}_2& \dots & x{\text{'}}_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{(n-1)}& x_2^{(n-1)}& \dots & x_n^{(n-1)}\end{array}\right|$. D'esta forma observem que és equivalent la formulació del Wronskiano de solucions d'una equació i la formulació del Wronskiano de solucions del sistema associat a dita equació. $W(x_1,x_2,\dots ,x_n)=W(\overrightarrow{X_1},\overrightarrow{X_2},\dots ,\overrightarrow{X_n}).$

Eixemple case n=2

Siga la edo de segon orde: $x^{″}=5x^{\prime }-6x$ podem comprovar, per mig de substitució, com a parell de solucions per a la nostra equació: $x_1=e^{2t},x_2=e^{3t}$.

Tornant a l'equació, definint:

$\begin{array}{cc}{y}_1=& x,\\ y_2=& x^{\prime },\end{array}$

resulta el sistema associat:

$\{\begin{array}{cc}y{\text{'}}_1=& y_2,\\ y{\text{'}}_2=& -6y_1+5y_2,\end{array}$

que es pot reescriure de forma matricial com:

$\left(\begin{array}{c}y{\text{'}}_1\\ y{\text{'}}_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -6& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right).$

Com $x_1$ i $x_2$ estan definides com a solucions de la edo, derivant obtenim les solucions del sistema:

$\overrightarrow{X_1}=\left(\begin{array}{c}{e}^{2t}\\ (e^{2t}{)}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}^{2t}\\ 2e^{2t}\end{array}\right),\overrightarrow{X_2}=\left(\begin{array}{c}{e}^{3t}\\ (e^{3t}{)}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}^{3t}\\ 3e^{3t}\end{array}\right)$.

D'esta forma el Wronskiano per a l'equació nos queda com: $W(x_1,x_2)=\left|\begin{array}{cc}{e}^{2t}& e^{3t}\\ 2e^{2t}& 3e^{3t}\end{array}\right|$ que coincidix en el Wronskiano del sistema associat, resultant de colocar els vectores solució junts: $W(\overrightarrow{X_1},\overrightarrow{X_2})=\left|\begin{array}{cc}{e}^{2t}& e^{3t}\\ 2e^{2t}& 3e^{3t}\end{array}\right|$.

Vore també

• Identitat d'Abel
• Teorema de Picard-Lindelöf

Referències

1. Teschl, Gerald (2012). Ordinary differential equations and dynamical systems (en anglés), American Mathematical Society.