Convergència en provabilitat

La Llei dels grans números assegura la convergència de la mija de la nostra població al valor real (si hi ha un).

La convergència en provabilitat es dona quan a mida que $n$, o el tamany de mostra, aumenta llavors la variable aleatòria (v.a.) pren valors propencs a una constant $c$ en major provabilitat. Un eixemple senzill d'açò seria, donat una v.a. que pren 2 valores c en provabilitat $1-1/n$ i $n$ en provabilitat $1/n$. Llavors en fer créixer n lo que ocorre és que el valor "n" de la v.a. aumenta pero la seua provabilitat disminuïx a una velocitat de (1/n) mentres que la provabilitat de que la v.a. prenga el valor c va tendint a 1.

Siga $X_n$ una variable aleatòria l'índex de la qual senyala el tamany de la mostra a partir de la qual dita variable aleatòria està construïda.

Es definix convergència en provabilitat

Es diu que la successió de variables aleatòries $X_n$ convergix en provabilitat a una constant c si $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|X_n-c|>\epsilon )=0$ per a qualsevol $\epsilon$ >0, també s'escriu com $X_n\stackrel{P}{\to }c$.

El resultat anterior, en ajuda de les propietats de valor absolut es pot vore com

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|X_n-c|>ϵ)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(X_n-c>ϵ\cup c-X_n>ϵ)$

Implicacions

Siga $(\Omega ,ϝ,P)$ un espai de provabilitat, $X_n,X:\Omega \to R$ variables aleatòries. Llavors si la successió de $X_n$ convergix casi segurament, ho fa tambien en provabilitat.