Variables de Mandelstam

En este diagrama, entren dos partícules en cuadrimomento p₁ i p₂, interaccionen, i ixen dos partícules en cuadrimomentos diferents (p₃ and p₄).

Les variables de Mandelstam en física teòrica són cantitats numèriques que codifiquen l'energia, moment i ànguls de les partícules que participen en una colisió de manera invariante Lorentz. S'ampren principalment en processos de dispersió de dos partícules per a donar atres dos partícules. Varen ser introduïdes pel físic Stanley Mandelstam en 1958.

Si es pren la mètrica de Minkowski com $d i a g (1, - 1, - 1, - 1)$ , les variables de Mandelstam $s, t, u$ es definixen com

$s = (p_{1} + p_{2})^{2} = (p_{3} + p_{4})^{2}$
$t = (p_{1} - p_{3})^{2} = (p_{2} - p_{4})^{2}$
$u = (p_{1} - p_{4})^{2} = (p_{2} - p_{3})^{2}$

a on p₁ i p₂ són els cuadrimomentos de les partícules incidents, i p₃ i p₄ els cuadrimomentos de les partícules eixints, i s'ampren unitats relativistes (c=1).

$s$ és el quadrat de l'energia en el sistema de referència del centre de masses (massa invariante), i $t$ és el quadrat de la transferència de cuadrimomento.

Diagrames de Feynman

Les lletres $s, t, u$ també s'ampren en els térmens canal s (canal espacial), canal t (canal temporal) i canal o. Estos canals representen els diagrames de Feynman que descriuen processos de dispersió en els que s'intercanvia una partícula virtual que el seu cuadrimomento al quadrat és igual a $s, t, u$ , respectivament.


canal s	canal t	canal o

Per eixemple, el canal s correspon a les partícules 1 i 2 (partícules incidents) unint-se en una partícula intermija que finalment dona lloc a les partícules 3 i 4: el canal s és l'única forma en la que es poden descobrir resonàncies i partícules inestables si les seues vides miges són suficientment llargues per a poder ser detectades. El canal t representa un procés en el que la partícula 1 emet una partícula intermija i es transforma en la partícula 3, mentres que la partícula 2 absorbix la partícula intermija i es transforma en la partícula 4. El canal o és el canal t intercanviant els papers de les partícules 3 i 4.

Propietats

Llímit relativiste

En el llímit relativiste, la velocitat i el moment són elevats, per lo que usant la relació d'energia-moment relativiste, l'energia és aproximadament la norma del moment ( $E^{2} = 𝐩 \cdot 𝐩 + {m_{0}}^{2}$ pansa a ser $E^{2} \approx 𝐩 \cdot 𝐩$ ). La massa en repòs de les partícules es considera despreciable.

Per eixemple,

s = (p_{1} + p_{2})^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2} \approx 2 p_{1} \cdot p_{2}

ya que $p_{1}^{2} = m_{1}^{2}$ i $p_{2}^{2} = m_{2}^{2} .$

Per lo tant,

$s \approx$	$2 p_{1} \cdot p_{2} \approx$	$2 p_{3} \cdot p_{4}$
$t \approx$	$- 2 p_{1} \cdot p_{3} \approx$	$- 2 p_{2} \cdot p_{4}$
$u \approx$	$- 2 p_{1} \cdot p_{4} \approx$	$- 2 p_{3} \cdot p_{2}$

Suma

Les tres variables de Mandelstam no són independents entre sí, ya que la seua suma és

s + t + u = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2}

a on $m_{i}$ és la massa de la partícula $i$ .

Demostració

Per a demostrar l'expressió anterior amprarem els següents fets:

El quadrat del cuadrimomento d'una partícula és el quadrat de la seua massa,

p_{i}^{2} = m_{i}^{2} (1)

El cuadrimomento és una cantitat conservada,

p_{1} + p_{2} = p_{3} + p_{4}

p_{1} = - p_{2} + p_{3} + p_{4} (2)

Per lo tant,

s = (p_{1} + p_{2})^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2}

t = (p_{1} - p_{3})^{2} = p_{1}^{2} + p_{3}^{2} - 2 p_{1} \cdot p_{3}

u = (p_{1} - p_{4})^{2} = p_{1}^{2} + p_{4}^{2} - 2 p_{1} \cdot p_{4}

Sumant les tres variables i amprant les masses de les partícules es té que

s + t + u = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2} + 2 p_{1}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2} - 2 p_{1} \cdot p_{3} - 2 p_{1} \cdot p_{4}

La suma dels últims quatre térmens és zero per la conservació del cuadrimomento,

2 p_{1}^{2} + 2 p_{1} \cdot p_{2} - 2 p_{1} \cdot p_{3} - 2 p_{1} \cdot p_{4} = 2 p_{1} \cdot (p_{1} + p_{2} - p_{3} - p_{4}) = 0

Per lo que finalment,

s + t + u = m_{1}^{2} + m_{2}^{2} + m_{3}^{2} + m_{4}^{2}

Vore també

Referències

(1958).Physical Review.112(4)

1344.doi:10.1103/PhysRev.112.1344.

(1984) Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
Perkins, Donald H. (2000). Introduction to High Energy Physics, 4th edició, Cambridge University Press. ISBN 0-521-62196-8.

Este artícul conté una traducció derivada de «Variables de Mandelstam» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.