Triàngul d'un sèptim de l'àrea
En geometria plana, qualsevol triàngul ABC conté un triàngul d'una sèptima part del àrea de ABC, format de la següent manera: els costats d'este triàngul es troben en les cevianas p, q i r, de manera que:
- p conecta A en un punt en BC que és un terç de la distància de B a C ,
- q conecta B en un punt en CA que és un terç de la distància de C a A ,
- r conecta C en un punt en AB que és un terç de la distància de A a B.
La prova de l'existència del triàngul d'una sèptima part de l'àrea es demostra a partir de la construcció de sis llínees paraleles:
- dos paraleles a p, una a través de C, l'atra a través del tall de q.r
- dos paraleles a q, una a través de A, l'atra a través del tall de r.p
- dos paraleles a r, una a través de B, l'atra a través del tall de p.q
L'idea d'Hugo Steinhaus és que el triàngul (central) en costats p, q, r es reflectixca en els seus costats i vèrtiços.[1] Estos sis triànguls adicionals cobrixen parcialment al ABC, i deixen sis triànguls adicionals que descollen fòra del ABC. Centrant-se en el paralelisme de la construcció completa (publicada per Martin Gardner a través de la revista en llínea de James Randi), són evidents les congruència entre parells de peces sobreixents i faltantes de ABC . Com es veu en la solució gràfica, les sis peces més l'original equivalen a tot el triàngul ABC.[2]
Robert Potts va incloure una mostra primerenca d'esta construcció geomètrica i càlcul d'àrea en 1859, en el seu llibre de text sobre geometria euclidiana.[3]
Segons Cook i Wood (2004), este triàngul va desconcertar a Richard Feynman en una conversació durant un sopar; lo que va dur als comensals a donar quatre demostracions diferents de la relació entre les àrees.[4] De Villiers (2005) va trobar una generalisació i un resultat anàlec per a un paralelogramo.[5]
Un resultat més general basat en una construcció similar és conegut com el teorema de Routh.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Hugo Steinhaus (1960) Mathematical Snapshots
- ↑ James Randi (2001) That Dratted Triangle, proof by Martin Gardner
- ↑ Robert Potts (1859) Euclid's Elements of Geometry, Fifth school edition, problems 59 and 100, pages 78 & 80 via Internet Archive
- ↑ R.J. Cook & G.V. Wood (2004) "Feynman's Triangle", Mathematical Gazette 88:299–302
- ↑ Michael de Villiers (2005) "Feynman's Triangle: Some Feedback and More" [1] archivat en Wayback Machine. Mathematical Gazette 89:107
- Este artícul conté una traducció derivada de «Triángulo de un séptimo del área» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.