Teorema de Routh

La teorema de Routh permet calcular l'àrea del triàngul ΔGHI (en roig), format per les tres cevianas AD, BE i CF.

En geometria, la teorema de Routh determina la relació d'àrees entre un triàngul donat i un triàngul format per l'intersecció de tres cevianas (una per cada vèrtiç).

Nomenclatura

Siga un triàngul qualsevol ΔABC (l'exterior, groc en el gràfic), en els costats del qual AB, BC i CA s'han marcat els punts F, D i I, sent estos tres últims peus qualssevol de les cevianas AD, BE i CF.

Els punts I, G i H conformen al triàngul interior ΔIGH (color roig l'en el gràfic). A on I, G i H són els punts d'intersecció de les cevianas (AD en CF), (AD en BE) i (BE en CF).

$I=AD\cap CF,G=AD\cap BE,H=BE\cap CF$

Denominant a les raons dels respectius segments de cada costat com a r, s i t:

$\overline{AF}/\overline{BF}=r$

$\overline{BD}/\overline{CD}=s$

$\overline{CE}/\overline{AE}=t$

Cridant a les àrees dels triànguls ΔABC i ΔIGH respectivament com A_ABC i A_IGH.

Enunciat de la teorema

En la nomenclatura abans mencionada, la teorema de Routh afirma que l'àrea del triàngul ΔIGH és:

El teorema de Ceva pot ser considerat com un cas especial de la teorema de Routh. En el cas especial de que les tres cevianas AD, BE i CF es intersequen en un sol punt, llavors l'àrea del triàngul ΔIGH és 0. Es pot concloure que ( r s t = 1 ), lo que és justament l'enunciat de la teorema de Ceva.

Vore també

• Teorema de Stewart
• Teorema de Ceva
• Teorema de Routh-Hurwitz
• Triàngul

Notes i referències

• Murray S. Klamkin and A. Liu, Three more proofs of Routh's theorem, Crux Mathematicorum 7 (1981) 199–203
• H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd edition, Wiley, New York, 1969
• J. S. Kline and D. Velleman, Yet another proof of Routh's theorem, Crux Mathematicorum 21 (1995) 37–40
• Routh's Theorem en MathWorld.