Teorema de Routh-Hurwitz

La teorema de Routh–Hürwitz servix per a analisar l'estabilitat dels sistemes dinàmics.

Bàsicament, la teorema proporciona un criteri capaç de determinar en quin semiplano (esquerre o dret) del pla complex estan localisades les raïls del denominador de la funció de transferència d'un sistema; i en conseqüència, conéixer si dit sistema és estable o no. Si despuix d'aplicar el criteri nos dona com a resultat que tots els pols estan en el semiplano esquerre, el sistema és estable, i si hi ha un mínim d'un pol en el semiplano dret, el sistema és inestable.

El criteri es referix a la funció de transferència en llaç tancat del sistema. Per a aplicar el criteri a un sistema descrit per la seua funció de transferència en llaç obert, cal incloure la realimentació fent:

$G_{BC}(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}$

El criteri de Routh-Hurwitz també s'utilisa per al traçat del lloc de les raïls. En este cas, dit procediment d'anàlisis estudia la funció de transferència del sistema en bucle obert 1+K·Gba(s)=0 (sent K el guany variable del sistema). El seu objectiu és determinar els punts de cort del LdR en l'eix imaginari. Dits punts marquen el llímit d'estabilitat del sistema, dit en atres paraules, determinen el llímit en el que els pols del sistema en bucle tancat passen al semiplano dret complex i per lo tant el sistema es torna inestable. Com és evident, despuix de l'aplicació del criteri de Routh-Hurwitz, els resultats obtinguts quedaran en funció del guany K, la qual cosa nos indicarà a partir de quins valors de K el sistema passarà d'estable a inestable (guany K llímit).

Procediment

Dau:

$G(s)=a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+a_{n-2}{s}^{n-2}+\dots +a_{1}s+a_0=0$

a on G (s) és l'equació característica d'un sistema.

Archiu:Criterio de Routh 01.JPG

El número de canvis de signe de: a_n, a_n-1, α₁, β₁, …, γ₁, δ₁ (primera columna resultant del criteri de Routh – Hürwitz), nos dona la cantitat d'elements que estan en el semiplano dret. Si tots els elements tenen el mateix signe, el sistema serà asintóticamente estable, en canvi, si trobem canvis de signe, el sistema serà inestable. Com està indicat dalt, tindrem tants pols en el semiplano positiu com a variacions de signe en la primera columna.

Eixemple

Eixemple: G(s) = $s^4+5s^3+3s^2+s+2$

Archiu:Criterio de Routh 02.JPG

Açò nos dona com a resultat en la primera columna: 1, 5, 2´8, -2´57, 2, en lo que per haver dos canvis de signe, el sistema és inestable per posseir dos elements (-2,57 i 2) en canvi de signe.

Degeneració

Hi ha dos casos de degeneració:

• En la primera, el primer element d'una fila de la taula és 0. Esta degeneració se salva substituint el 0 per un “ε” (número infinitesimalmente positiu), i es continua calculant. Després a l'hora de comprovar els canvis de signe es deixa el 0 que substituïm i a on nos aparega “ε” calculem el llímit quan ε tendix a 0.

En la segona, tota una fila de la taula és 0. Esta degeneració se salva montant al polinomi auxiliar de la fila immediatament superior a la que nos va aparéixer la fila de zeros. A esta equació se li fa la derivada i lo que nos des substituïx en la fila de zeros, podent aixina continuar calculant. De la mateixa manera que en l'anterior degeneració, per a comprovar els canvis de signe es deixa el 0 que nos va aparéixer.

Si en el denominador de la funció de transferència del sistema tenim una incògnita, es calcula d'igual forma tot el criteri de Routh – Hürwitz i en les files de la primera columna en la que nos aparega l'incògnita deurà ser el seu resultat major a 0, resolem les inecuaciones i agarrem els resultats més restrictius, sent estos els que nos determinen que el sistema siga estable.

Finalment es pot comprovar fent Ruffini, i observarem que en els que nos va donar un 0 nos eixirà una parell de pols complexos conjugats, si la part real és negativa el parell de pols complexos és estable, sino no se sap si ho és.

Eixemples

Eixemple primera degeneració: G(s) = $s^4+s^3+2s^2+2s+3$

Archiu:Criterio de Routh 03.JPG

Açò nos dona com a resultat en la primera columna: 1, 1, 0, -α, 3, en lo que per haver dos canvis de signe, el sistema és inestable per posseir dos elements en el semiplano dret.

Eixemple segona degeneració: G(s) = $s^4+3s^3+3s^2+3s+2$

Archiu:Criterio de Routh 04.JPG

Açò nos dona com a resultat en la primera columna: 1, 3, 2, 0, 2, en lo que la fila 4 és una llínea de zeros la qual indica una oscilació permanent, és dir en el llímit de l'estabilitat.

Referències

Norman S. Nise. Control Systems Engineering. USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-44577-0.