Transformada de Joukowsky

Archiu:Joukowsky transform.svg

Eixemple de la transformada de Joukowsky. El perfil d'avall és la transformada de Joukowsky del círcul de dalt.

En matemàtica aplicada, la transformada de Joukowsky, que deu el seu nom a Nikolai Zhukovsky (quí la va publicar en 1910), és una transformació conforme històricament utilisada per a entendre alguns principis del disseny de perfils.

La transformada és

$z=\zeta +\frac{1}{\zeta }$,

a on $z=x+iy$ és una variable complexa en l'espai nou i $\zeta =\chi +i\eta$ és una variable complexa en l'espai original. Esta transformació també es coneix com a transformació de Joukowsky, la transformació de Joukowski, o la transformada de Zhukovsky i atres variacions.

En aerodinàmica, se sol utilisar per a resoldre el problema de fluix potencial bidimensional al voltant dels perfils coneguts com a perfils de Joukowsky. Un perfil de Joukowsky es genera en el pla complex (pla-$z$ aplicant la transformada de Joukowsky a un círcul en el pla-ζ). Les coordenades del centre del círcul són variables, i en modificar-les es canvia la forma del perfil resultant. El círcul tanca al punt $\zeta =-1$ (a on la derivada és zero) i es interseca en el punt $\zeta =1$. Açò es pot conseguir per a qualsevol posició del centre ${\mu }_x+i{\mu }_y$variant el radi del círcul.

Els perfils de Joukowsky tenen un punt singular en el seu vora d'eixida. Una atra transformació conforme, la transformació de Kármán-Trefftz, en la que es pot especificar l'àngul de la vora eixida, genera una série de perfils més extensa. Quan l'àngul de la vora d'eixida s'especifica com zero, la transformada de Kármán-Trefftz es reduïx a la transformació de Joukowsky.

Transformada general de Joukowsky

La transformada de Joukowsky transforma qualsevol número complejo $\zeta$ a $z$ de la següent forma:

$\begin{array}{cc}z& =x+iy=\zeta +\frac{1}{\zeta }\\ & =\chi +i\eta +\frac{1}{\chi +i\eta }\\ & =\chi +i\eta +\frac{(\chi -i\eta )}{{\chi }^2+{\eta }^2}\\ & =\frac{\chi ({\chi }^2+{\eta }^2+1)}{{\chi }^2+{\eta }^2}+i\frac{\eta ({\chi }^2+{\eta }^2-1)}{{\chi }^2+{\eta }^2}.\end{array}$

Per lo que la part real ($x$) i l'imaginària ($y$) són:

$\begin{array}{cc}x& =\frac{\chi ({\chi }^2+{\eta }^2+1)}{{\chi }^2+{\eta }^2},\\ y& =\frac{\eta ({\chi }^2+{\eta }^2-1)}{{\chi }^2+{\eta }^2}.\end{array}$

Eixemple de la transformada de Joukowsky

La transformació per al círcul unitat és un cas especial.

$|\zeta |=\sqrt{{\chi }^2+{\eta }^2}=1,\text{lo que da}{\chi }^2+{\eta }^2=1.$

Llavors la part real és $x=\frac{\chi (1+1)}{1}=2\chi$ i l'imaginària és $y=\frac{\eta (1-1)}{1}=0$.

La transformació de círcul d'unitat genera una placa plana en el pla real que va des de −2 a +2.

La transformació d'atres círculs generen perfils en atres formes.

Camp de velocitat i circulació per al perfil de Joukowsky

La solució al fluix potencial al voltant d'un cilindre circular és analítica i ben coneguda. És la superposició d'un fluix uniforme, un doblet, i un vórtice.

La velocitat complexa conjugada és $\tilde{W}={\tilde{u}}_x-i{\tilde{u}}_y,$ al voltant del círcul en el pla-$\zeta$ és

$\tilde{W}=V_{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\alpha }+\frac{i\Gamma }{2\pi (\zeta -\mu )}-\frac{V_{\mathrm{\infty }}{R}^2{e}^{i\alpha }}{(\zeta -\mu {)}^2}$,

a on

• $\mu ={\mu }_x+i{\mu }_y$ és la coordenada complexa del centre del círcul,
• $V_{\mathrm{\infty }}$ és la velocitat de la corrent incident del decorregut,
• $\alpha$ és l'àngul d'atac del perfil sobre la corrent incident,
• $R$ és el radi del círcul, calculat usant $R=\sqrt{(1-{\mu }_x{)}^2+{\mu }_y^2}$, i
• $\Gamma$ és la circulació, trobada amprant la condició de Kutta, que es reduïx en este cas a

$\Gamma =4\pi V_{\mathrm{\infty }}R\sin (\alpha +{\sin }^{-1}\left(\frac{{\mu }_y}{R}\right))$.

La velocitat complexa $W$ al voltant del perfil en el pla $z$ és, segons les regles del mapage conforme i utilisant la transformació de Joukowsky:

$W=\frac{\tilde{W}}{\frac{dz}{d\zeta }}=\frac{\tilde{W}}{1-\frac{1}{{\zeta }^2}}$.

Ací $W=u_x-i{u}_y$ en $u_x$ i $u_y$ les components de la velocitat en les direccions $x$ i $y$, respectivament ($z=x+iy$ en $x$ i $y$ reals).De la velocitat, atres propietats d'interés, com el coeficient de pressió o la sustenación poden ser calculades.

Els perfils de Joukowsky tenen un punt singular en la seua vora d'eixida.

La transformació deu el seu nom al científic rus Nikolai Zhukovsky. El seu nom històricament ha segut interpretat de diverses formes, per lo que et pots trobar en la transformada escrita de vàries maneres.

Referències

• Anderson, John (1991). Fundamentals of Aerodynamics, Second edició, Toronto: McGraw-Hill, pp. 195-208. ISBN 0-07-001679-8.
• Zingg, D. W. (1989). «Low Mach number Euler computations». NASA TM-102205.