Teselado aperiódico

Un teselado aperiódico és un tipo de teselado no periòdic en la propietat adicional de que no conté zones periòdiques arbitrariamente grans. Un conjunt de tipos de mosaics (o prototeselas) és aperiodico si les còpies d'estos mosaics solament poden formar enlosados que no siguen periòdiques. Les teselaciones de Penrose^[1]^[2] són els eixemples més coneguts de mosaics aperiódicos.

Els mosaics aperiódicos servixen com a models matemàtics para cuasicristalés, sòlits físics que varen ser descoberts en 1982 per Donen Shechtman,^[3] qui posteriorment va guanyar el premi Nobel en 2011.^[4] No obstant, l'estructura local específica d'estos materials encara no es comprén be.

Es coneixen varis métodos per a construir revestiment del pla aperiódicos.

Definició i ilustració

Considere's un mosaic periòdic per unitats quadrades (alguna cosa semblat a un paper milimetrado infinit). Ara, es talla un quadrat en dos rectànguls. El mosaic obtingut d'esta manera ya no és periòdic: no hi ha un desplaçament distint de zero que deixe el mosaic com estava inicialment. Pero clarament este eixemple és molt manco interessant que el mosaic de Penrose. Per a descartar eixemples tan trivials, es definix un mosaic aperiódico com un que no conté parts periòdiques arbitrariamente grans.

Un mosaic es diu aperiódico si el seu envolvente conté sol mosaics no periòdics. l'envolvente d'un mosaic $T \subset ℝ^{d}$ conté totes les translacions T+x de T, junt en tots els mosaics que es poden aproximar per mig de translacions de T. Formalment, est és el tancament del conjunt ${T + x : x \in ℝ^{d}}$ en la topología local.^[5] En la topología local (respecte a la mètrica corresponent) dos teselados estan $ε$ -prop si coincidixen en una bola de radi $1 / ε$ al voltant de l'orige (possiblement despuix de desplaçar un dels teselados en una cantitat menor que $ε$ ).

Per a donar un eixemple encara més simple que l'anterior, considere's un mosaic unidimensional T sobre una llínea com ...aaaaaabaaaaa... a on a representa un interval de llongitut un, b representa un interval de llongitut dos. Aixina, el mosaic T consta d'un número infinit de còpies de a i una còpia de b (en centre, per eixemple, en 0). Ara, totes les translacions de T són les teselaciones en una b en alguna part i a en el restant. La seqüència de mosaics a on b se centra en $1, 2, 4, \dots, 2^{n}, \dots$ convergix, en la topología local, al mosaic periòdic que consta de sol a. Per lo tant, T no és un mosaic aperiódico, ya que el seu envolvente conté el mosaic periòdic ...aaaaaa....

Per als mosaics en bon comportament (per eixemple, mosaics de substitució en un número finito de patrons locals) es complix que: si un mosaic no és periòdic i repetitiu (és dir, cada zona és uniformemente densa en tot el mosaic), llavors és aperiódico.^[5]

Història

La primera aparició específica de teselaciones aperiódicas va sorgir en 1961, quan el llògic Hao Wang va tractar de determinar si el problema del va dominar és decidible, és dir, si existix un algoritme per a decidir si un conjunt finito dau de prototeselas admet una teselación del pla. Wang va trobar algoritmes per a enumerar els conjunts de mosaics que no poden enlosar el pla i els conjunts de mosaics que ho enlosan periòdicament; en açò va demostrar que tal algoritme de decisió existix si cada conjunt finito de prototeselas que permet recobrir el pla també admet un mosaic periòdic.

En 1964, Robert Berger va trobar un conjunt aperiódico de prototeselas a partir del com va demostrar que el problema del mosaic no és decidible.^[6]^[7] Este primer conjunt d'este tipo, utilisat per Berger en la seua prova de indecidibilidad, va requerir 20.426 fiches de Wang. Berger després va reduir el seu conjunt a 104, i Hans Läuchli posteriorment va trobar un conjunt aperiódico que requeria solament 40 fiches de Wang.^[8]

Raphael M. Robinson va descobrir un conjunt encara més chicotet de sis teselas aperiódico (basat en mosaics de Wang) en 1971.^[9] Roger Penrose va descobrir tres jocs més en 1973 i 1974, reduint el número de mosaics necessaris a dos, i Robert Ammann va descobrir varis jocs nous en 1977.^[8]

Les teselaciones aperiódicas de Penrose poden generar-se no solament per mig d'un conjunt aperiódico de prototeselas, sino també per mig d'una substitució i un método de tall i proyecció. Despuix del descobriment dels cuasicristales, els materials aperiódicos són estudiats intensament per físics i matemàtics. El método de tallar i proyectar de N.G. de Bruijn per als mosaics de Penrose finalment va resultar ser una instància de la teoria del conjunt de Meyer.^[10]^[11] Hui en dia existix una gran cantitat de bibliografia sobre revestiment aperiódicos.^[5]

Vore també

Referències

↑ «Mathematical Games».Scientific American.236(1)
111–119.doi:10.1038/scientificamerican0177-110.
↑ Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W H Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8.
↑ (1984).«Metallic Phase with long-range orientational order and no translational symmetry».Physical Review Letters.53(20)
1951–1953.doi:10.1103/PhysRevLett.53.1951.
↑ «The Nobel Prize in Chemistry 2011». Nobelprize.org.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 (2013) Aperiodic Order. Vol 1: A Mathematical Invitation, Cambridge University Press.
↑ Plantilla:Mathgenealogy.
↑ (1966).«The undecidability of the domine problem».Memoirs of the American Mathematical Society.(66)
1–72.
↑ ^8,0 ^8,1 Grünbaum and Shephard, section 11.1.
↑ (1971).«Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane».Inventiones Mathematicae.12(3)
177–209 (s2cid:14259496).doi:10.1007/BF01418780.
↑ (1996).«Meyer's concept of quasicrystal and quasiregular sets».Commun. Math. Phys..179(2)
356–376 (s2cid:122753893).doi:10.1007/BF02102593.
↑ Moody, R.V. (1997). «Meyer sets and their duals», The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order, pp. 403–441. doi:10.1007/978-94-015-8784-6_16. ISBN 978-90-481-4832-5.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teselado aperiódico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «Mathematical Games».Scientific American.236(1)
111–119.doi:10.1038/scientificamerican0177-110.

[2] Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W H Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8.

[schechtman-3] (1984).«Metallic Phase with long-range orientational order and no translational symmetry».Physical Review Letters.53(20)
1951–1953.doi:10.1103/PhysRevLett.53.1951.

[nobel-4] «The Nobel Prize in Chemistry 2011». Nobelprize.org.

[tao-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 (2013) Aperiodic Order. Vol 1: A Mathematical Invitation, Cambridge University Press.

[6] Plantilla:Mathgenealogy.

[7] (1966).«The undecidability of the domine problem».Memoirs of the American Mathematical Society.(66)
1–72.

[gs-8] 8,0 ^8,1 Grünbaum and Shephard, section 11.1.

[9] (1971).«Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane».Inventiones Mathematicae.12(3)
177–209 (s2cid:14259496).doi:10.1007/BF01418780.

[10] (1996).«Meyer's concept of quasicrystal and quasiregular sets».Commun. Math. Phys..179(2)
356–376 (s2cid:122753893).doi:10.1007/BF02102593.

[11] Moody, R.V. (1997). «Meyer sets and their duals», The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order, pp. 403–441. doi:10.1007/978-94-015-8784-6_16. ISBN 978-90-481-4832-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]