Teselación de Penrose
.svg){kind=link}
Una Teselación de Penrose o sol de taulells de Penrose és una teselación no periòdica generada per un conjunt aperiódico de taulells prototip nomenades en honor a Roger Penrose, qui va investigar eixos conjunts en la década dels 70. Degut a que totes les teselaciones obtingudes en els taulells de Penrose són no periòdiques, les teselaciones de Penrose han segut considerades com teselaciones aperiódicas.
Un teselación de Penrose té vàries propietats remarcables:
- És no periòdica, la qual cosa significa que carix de simetria traslacional alguna. Dit de manera informal, una còpia desplaçada mai concordarà en l'original de forma exacta.
- Qualsevol regió finita en una teselación apareix un número infinit de voltes en eixa teselación i de fet, en qualsevol atra teselación. Esta propietat podria ser trivialmente verdadera en una teselación en simetria translacional, pero és no trivial quan s'aplica en les teselaciones no periòdiques de Penrose.
- És un cuasicristal: implementada com una estructura física, una teselación de Penrose produirà una difracció de Bragg el patró de la qual de difracció revela la simetria subjacent d'orde cinc i l'orde en un marge ampli. Este orde reflectix el factor pel qual la teselación està organisada, no a través de simetria rotacional, pero sí a través d'un procés algunes voltes anomenat “deflación” o “inflació”.
Robert Ammann va descobrir de forma independent la teselación al mateix temps que Penrose.
Varis métodos per a construir les teselaciones han segut proposts, per eixemple regles d'acomode, substitucions, mecanismes de tall i proyecció i cobertura.
Antecedents històrics
[editar | editar còdic]Els conjunts de taulells proposts per Penrose estan entre els eixemples més simples d'un fet matemàtic no intuïtiu, l'existència de conjunts aperiódicos. En 1961, Hao Wang va notar conexions entre problemes de geometria (especialment sobre les teselaciones) i una certa classe de problema de decisió.[1] Per un costat, va observar que si el cridat Problema va dominar no anara recursivo, llavors tindria que existir un conjunt aperiódico de taulells. Com l'existència de dit conjunt no semblava plausible, Wang conjeturó que el Problema Va dominar és recursivo.
En la seua tesis de 1964, Robert Berger va desmentir la conjectura de Wang, provant que el Problema Va dominar és de fet no recursivo i que produïa un conjunt aperiódico de 104 taulells distints (en la seua monografia,[2] Berger muestrabs encara un conjunt més extens de 20.426 taulells).
El número va ser reduït per Donald Knuth, Hans Läuchli i Raphael Robinson els qui varen donar un conjunt aperiódico de sol sis taulells (que varen simplificar la demostració matemàtica de Berger) en un elegant document de 1971.[3] En 1972, Roger Penrose obté la primera de diverses variacions de taulells forçant una estructura pentagonal jeràrquica, un conjunt de sis taulells. Durant els anys següents, atres variacions varen ser trobades, en la participació de Raphael Robinson, Robert Ammann i John H. Conway.
En 1981 De Bruijn va explicar un método per a construir les teselaciones de Penrose[4] per mig de cinc famílies de llínees paraleles, aixina com un “método de tall i proyecció” en el qual els taulells de Penrose eren obtingudes en les proyeccions en dos dimensions d'una estructura cúbica de cinc dimensions. D'esta forma la teselación de Penrose és considerada com un conjunt de punts, és dir, els seus vèrtiços, mentres que els seus taulells són solament formes geomètriques definides en conectar els seus vèrtiços.
La teselación de Penrose original (P1)
[editar | editar còdic]
La teselación de Penrose original va ser proposta en 1974 en un document titulat el paper de l'estètica en l'investigació pura i aplicada.[5] No més d'una quinta part del document tracta d'això, pero Penrose admet que la teselación va ser el tema real. Més tarde Penrose reconeix l'inspiració del treball de Johannes Kepler. En el seu llibre Harmonices Mundi Kepler va explorar teselaciones construïdes per mig de pentàgons i es va demostrar que la seua construcció podia ser estesa en una teselación de Penrose.[6] En un principi els traços d'esta idea ya estaven fets en un treball de Durero.
En intentar omplir de taulells el pla en pentàgons regulars és necessari deixar buits. Penrose va trobar una particular forma de teselado en el qual els buits podien ser omplits en atres formes: una estrela, un pot i un diamant com es mostra a l'esquerra. En adició als taulells, les regles de començ de Penrose, usualment cridades regles de ensamble, especifiquen com els taulells deuen ser unides entre sí; estes regles són necessàries per a assegurar-se de que les teselaciones siguen no periòdiques. Com hi ha tres conjunts distints de regles de ensamble per a taulells pentagonals, és comú considerar al conjunt com si tinguera tres taulells pentagonals diferents, mostrades en colors diferents en l'ilustració. Açò resulta en un conjunt de sis taulells: un rombo prim o 'diamant', una estrela de cinc picos, un 'pot' (aproximadament 3/5 d'una estrela) i tres pentàgons.
Penrose va trobar més tarde dos conjunts més de taulells aperiódicas, un consistint en taulells coneguts com a 'cometa' i 'flecha' (P2) i un segon conjunt consistint en dos rombos (P3). La translació entre la teselación P1 i el seu corresponent teselación P3 és ilustrada a la dreta.
Vore també
[editar | editar còdic]- Maurits Cornelis Escher
- Friso o teselación llongitudinal
- Polígons de Thiessen
- Teselación d'El Caire
- Teselación de Penrose
- Transformació isomètrica
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Wang, 1961.
- ↑ Berger, 1966.
- ↑ R.M. Robinson, Undecidability and nonperiodicity of tilings in the plane, Inv. Math 12 (1971), 177-190.
- ↑ De Bruijn, 1981.
- ↑ Penrose R., Bull. Inst. Maths. Appl. 10 (1974) 266
- ↑ Luck R., Dürer-Kepler-Penrose: the development of pentagonal tilings, Mat. Sci. Eng. 294-6 (2000) 263-7
Referències
[editar | editar còdic]- (1966).«The undecidability of the domine problem».66
- (1981).«Algebraic theory of Penrose's senar-periodic tilings of the plane, I, II».Indagationes Mathematicae.43(1)
- 39–66.doi:10.1016/1385-7258(81)90017-2.
- (1996).«Penrose tilings as coverings of congruent decagons».Geometriae Dedicata.62(1)doi:10.1007/BF00239998.
- (1961).«Proving theorems by pattern recognition II».Bell System Technical Journal.40
- 1–42.doi:10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x.
Bibliografia adicional
[editar | editar còdic]- Gardner, Martin (1990). Mosaics de Penrose i escotillas sifrades, Barcelona: Llabor. ISBN 84-335-5220-1.
- Penrose, Roger (1991). La nova ment de l'emperador, Madrit: Mondadori. ISBN 84-397-1786-5.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Teselación de Penrose» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.