Teoremes de Castigliano

Les teoremes de Castigliano de resistència de materials es deuen a l'ingenier italià Carlo Alberto Castigliano (1847-1884), que va elaborar nous métodos d'anàlisis para sistemes elàstics. Les dos teoremes que duen actualment el seu nom, enunciats en 1874 i 1875 respectivament són les seues contribucions més importants.

Primera teorema de Castigliano

Siga un cos elàstic $K\in {ℝ}^3$ sobre el que actuen el conjunt de forces P₁,...,P_n aplicats sobre els punts del sòlit A₁,...,A_n i cridem $U({\delta }_1,\mathrm{...},{\delta }_n)$ a l'energia potencial elàstica o potencial intern a on ${\delta }_i$ és el moviment- desplaçament o gir- en el punt A_i en la direcció de la força P_i. Llavors la força eixercida P_i en el punt A_i ve donada per:

Segona teorema de Castigliano

Siga un cos elàstic-llineal i isótropo $K\in {ℝ}^3$ sobre el que actuen un conjunt de forces $P_1,P_2,\mathrm{...},P_n$ aplicades sobre els punts del sòlit $i=\{1,2,\mathrm{...},n\}$ i cridem $U(P_1,P_2,\mathrm{...},P_n)$ a l'energia potencial elàstica o potencial intern. Llavors el desplaçament o gir ${\delta }_i$ proyectat sobre la direcció de $P_i$ ve donada per:

Esta teorema pot particularizarse a numerosos casos pràctics de forma alguna cosa més concreta, per eixemple en la teoria de voltons Euler-Bernoulli s'ampra la forma:

a on:

$N_x(s),M_y(s),M_z(s)$ representen els esforços de secció (axial i flectores) a lo llarc del eix baricéntrico del voltó.

$A,I_y,I_z$ representen l'àrea i els segons moments d'àrea de la secció travessera del voltó.

$E$ és el mòdul de Young del material del voltó.

Demostració

Siga un cos elàstic-llineal i isótropo $K\in {ℝ}^3$ sobre el que actuen un conjunt de forces $P_1,P_2,\mathrm{...},P_n$ aplicades sobre els punts del sòlit $i=\{1,2,\mathrm{...},n\}$, generant una energia de deformació $U$ que és funció de les càrregues. Pel comportament descrit, és vàlit el principi de superposició. Quan les càrregues s'apliquen al cos, es van incrementant cuasiestáticamente des de zero fins als seus valors finals, generant els desplaçaments proporcionals. Si una volta terminat el procés apliquem a la carrega i-ésima un increment infinitesimal, l'energia de deformació s'incrementarà igualment segons l'expressió:A on $\partial U/\partial P_i$ és la taxa de canvi de $U$ sobre $P_i$ (deu ser una derivada parcial, ya que $U$ és funció de totes les càrregues). L'energia de deformació final és:Pel principi de superposició, l'energia de deformació total deu ser independent del procés seguit en l'aplicació de les càrregues. Estudiarem per tant el cas en l'orde invers. Aixina, apliquem primer la càrrega $\mathrm{d}{P}_i$, lo que, com en un cas general l'energia de deformació val $P\delta /2$ (ya que la càrrega s'aplica gradualment), produïx una igual a:Quan s'aplica el restant de càrregues, estes produiran una energia de deformació d'igual valor al cas anterior, açò és, $U$. No obstant, com durant este procés hem tingut a la càrrega $\mathrm{d}{P}_i$ movent-se una distància ${\delta }_i$, tindrem que sumar-li el seu treball, que per haver estat $\mathrm{d}{P}_i$ actuant sempre a tal valor, és de valor $\mathrm{d}{P}_i{\delta }_i$. Després l'energia total de deformació serà la suma de totes estes:I com vàrem dir, pel principi de superposició, (6) deu ser igual a (3). Si ademés despreciem els infinitésimos de segon orde, per ser a la seua volta infinitesimalmente més menuts que el restant de térmens, obtenim, rebujant el desplaçament i-ésimo la segona teorema de Castigliano:

Vore també

• Resistència de materials