Teorema geomètrica de Euler

$d=|IO|=\sqrt{R(R-2r)}$

En geometria, la teorema de Euler establix que la distancia d entre el circumcentre i l'incentro d'un triàngul, complix la relació següent:

$d^2=R(R-2r)$

o de forma equivalent

$\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}$

a on R i r denoten el circunradio i el inradio (els radis de la circumferència circumscrita i de la circumferència inscrita respectivament).

La teorema rep el seu nom en memòria de Leonhard Euler, qui ho va publicar en 1767, encara que el mateix resultat ya havia segut donat a conéixer per William Chapple en 1746.

De la teorema es deduïx la Desigualtat de Euler:

$R\ge 2r,$

que es convertix en una igualtat solament en el cas del triàngul equilátero.

Demostració

Sent O el circumcentre de triàngul ABC, i I el seu incentro, l'extensió de AI creua la circumferència circumscrita en L. Llavors, L és el punt mig de l'arc BC. S'unixen LO i s'estén fins a creuar la circumferència circumscrita en M. Es construïx ara una perpendicular a AB, des de I, sent D el seu peu, aixina que ID = r. No és difícil de provar que el triàngul ADI és similar al triàngul MBL, aixina que ID / BL = AI / ML; i per lo tant ID × ML = AI × BL. En conseqüència, 2Rr = AI × BL. Unixca's BI. Degut a que

∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,

es té que ∠ BIL = ∠ IBL, i aixina BL = IL, i AI × IL = 2 Rr. Estenent OI de modo que creue la circumferència circumscrita en P i Q; llavors PI × QI = AI × IL = 2Rr, aixina que (R + d)(R − d) = 2Rr, llavors d² = R(R - 2r).

Versió forta de la desigualtat

Una versió més forta és

$\frac{R}{r}\ge \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1\ge \frac{2}{3}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\ge 2.$

Vore també

• Teorema de Fuss per a la relació entre les mateixes tres variables en quadrilàters bicéntricos.
• Teorema de clausura de Poncelet, mostrant que hi ha una infinitat de triànguls en el mateix R, r, i d.
• Anex:Desigualtats del triàngul